Em cada um dos casos a seguir, determine o limite l para o a dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um de tal que |f(x)-l| para todo x satisfazendo 0<|x-a|.
.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0f(x) para f(x)=x[3-cos(x^2)] e em seguida provar esse resultado usando a definição varepsilon- de. Vamos precisar de noções de limite de função, continuidade de cos e estimativas de valor absoluto.

Passo 2

Para encontrar o valor do limite, observe que cos(x^2)to1 quando xto0. Assim,
3-cos(x^2)to3-1=2
e como xto0, concluímos que
$$\lim_{x\to0}x[3-\cos(x^2)]=0\times2=0.
$$
Logo, limxto0x[3-cos(x^2)]=0times2=0 .

Passo 3

Para a prova varepsilon- de, comece estimando
|f(x)-0|=|x|,|3-cos(x^2)|
Como -1<=cos(x^2)<=1, temos |3-cos(x^2)|<=4. Logo
|f(x)|<=4|x|
Dado varepsilon>0, basta exigir 4|x|, ou seja, |x|. Para manter tudo certinho perto de zero, defina

Assim, sempre que 0<|x|, temos |f(x)|<=4|x|<4de, provando o limite.

Resposta

O limite é l=0. Uma escolha que funciona é de.

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