Em cada um dos casos a seguir, determine o limite
para o
dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um
tal que
para todo
satisfazendo
.
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
para
e em seguida provar esse resultado usando a definição
-
. Vamos precisar de noções de limite de função, continuidade de
e estimativas de valor absoluto.
Passo 2
Para encontrar o valor do limite, observe que
quando
. Assim,
e como
, concluímos que
$$\lim_{x\to0}x[3-\cos(x^2)]=0\times2=0.
$$
Logo, .
Logo,
Passo 3
Para a prova
-
, comece estimando
Como
, temos
. Logo
Dado
, basta exigir
, ou seja,
. Para manter tudo certinho perto de zero, defina
Assim, sempre que , temos
, provando o limite.
Assim, sempre que
Resposta
O limite é
. Uma escolha que funciona é
.