Em cada um dos casos a seguir, determine o limite l para o a dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um de tal que |f(x)-l| para todo x satisfazendo 0<|x-a|.
f(x)=100x, a=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o limite l=limxto1100x e, em seguida, provar esse resultado usando a definição varepsilon- de. Vamos precisar da definição de limite: dado varepsilon>0, achar de0 tal que, se 0<|x-1|, então |f(x)-l|.

Passo 2

Primeiro, avaliamos o limite de forma direta, supondo que existe e seja finito. Substituindo x=1 em f(x)=tfrac100x, temos (l=\frac{100}{1}=100.

Passo 3

Agora, para a prova varepsilon- de, consideramos a diferença

Queremos garantir que |f(x)-l| = l|100x - 100r| = 100l|1x - 1r| = 100|x-1||x|. Para isso, restringimos 100|x-1||x| < varepsilon a ficar perto de 1, por exemplo escolhendo
x
assim, se de, então |x-1| implica |x-1|. Logo

Para ter isso menor que |x|>1-tfrac12=tfrac12, basta exigir
$$200|x-1| < \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad |x-1| < \frac{\varepsilon}{200},.
$$

Passo 4

Portanto, escolhendo
de
asseguramos que sempre que 0<|x-1| teremos |f(x)-100|. Isso conclui a prova de que limxto1tfrac100x=100.

Resposta

100

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