Em cada um dos casos a seguir, determine o limite
para o
dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um
tal que
para todo
satisfazendo
.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o limite
e, em seguida, provar esse resultado usando a definição
-
. Vamos precisar da definição de limite: dado
, achar
tal que, se
, então
.
Passo 2
Primeiro, avaliamos o limite de forma direta, supondo que existe e seja finito. Substituindo
em
, temos (l=\frac{100}{1}=100.
Passo 3
Agora, para a prova
-
, consideramos a diferença
Queremos garantir que
assim, se
, então
implica
. Logo
Para ter isso menor que
$$200|x-1| < \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad |x-1| < \frac{\varepsilon}{200},.
$$
Passo 4
Portanto, escolhendo
asseguramos que sempre que
Resposta
100