Calcular e das seguintes funções nos pontos dados:
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=raizxy+tfracxy no ponto P0=(-2,-3). O conteúdo envolve derivadas parciais e o uso da regra da cadeia, além de derivar produto e quociente.

Passo 2

Vamos definir g(x,y)=xy+tfracxy de modo que
f(x,y)=(g(x,y))^1/2. Pela regra da cadeia, temos as fórmulas gerais
fx(x,y)=gx(x,y)2raizg(x,y), fy(x,y)=gy(x,y)2raizg(x,y)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de g:
Derivando xy em relação a x y, e x/y 1/y, logo
gx=y+tfrac1y.
Derivando xy em relação a y x, e x/y -x/y^2, logo
gy=x-tfracxy^2.

Passo 4

Substituindo em fx e fy, obtemos
fx(x,y)=y+tfrac1y2raizxy+tfracxy, fy(x,y)=x-tfracxy^22raizxy+tfracxy

Passo 5

Vamos avaliar em P0=(-2,-3):
g(-2,-3)=(-2)(-3)+-2-3=6+23=203, raizg(-2,-3)=raiz203
gx(-2,-3)=-3+l(-13r)=-103, gy(-2,-3)=-2-l(-29r)=-169

Passo 6

Substituindo esses valores nas fórmulas de fx e fy e simplificando:
fx(-2,-3)=-tfrac1032raiztfrac203=-raiz156, fy(-2,-3)=-tfrac1692raiztfrac203=-4raiz1545

Resposta

fx(-2,-3)=-tfracraiz156, fy(-2,-3)=-tfrac4raiz1545

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