Em cada um dos casos a seguir, determine o limite l para o a dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um de tal que |f(x)-l| para todo x satisfazendo 0<|x-a|.
f(x)=x^4+1x, a=1.

Passo 1

Neste exercício temos a função f(x) = x^4 + 1x e queremos calcular limx to 1 f(x) usando a definição varepsilon- de de limite. Avaliando por substituição direta, obtemos f(1) = 1^4 + 1/1 = 2, logo o candidato a limite é l = 2.

Passo 2

Para provar formalmente que limx to 1 f(x) = 2, partimos da diferença e fatoramos:
f(x) - 2 = x^4 + 1x - 2 = (x^4 - 1) + l(tfrac1x - 1r) = (x-1)l(x^3 + x^2 + x + 1 - tfrac1xr)

Passo 3

Agora precisamos controlar o fator grande. Para isso, escolhemos de. Então, se 0 < |x - 1| < de, temos x in (1/2, 3/2). Nessa faixa, podemos estimar:
|x^3 + x^2 + x + 1 - tfrac1x| <= x^3 + x^2 + x + 1 + tfrac1x <= tfrac278 + tfrac94 + tfrac32 + 1 + 2 = tfrac818 = 10.125

Passo 4

Dessa forma, temos
|f(x) - 2| = |x-1| cdot l|x^3 + x^2 + x + 1 - tfrac1xr| <= |x - 1| cdot 10.125

Passo 5

Para garantir |f(x) - 2| < varepsilon, basta exigir |x - 1| < varepsilon / 10.125. Portanto, escolhendo
dese 0 < |x - 1| < de então |f(x) - 2| < varepsilon, o que prova que limx to 1 f(x) = 2.

Resposta

2

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