Em cada um dos casos a seguir, determine o limite l para o a dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um de tal que |f(x)-l| para todo x satisfazendo 0<|x-a|.
f(x)=x^4, a arbitrário.

Passo 1

O enunciado pede para determinar limxto ax^4 e provar, pelo critério varepsilon- de, que esse limite existe e vale l. O conteúdo principal é limite de polinômio e prova varepsilon- de: vamos precisar fatorar a diferença e estimar seus termos para escolher de em função de varepsilon e a.

Passo 2

Para funções polinomiais contínuas sabemos intuitivamente que limxto ax^4=a^4. Então o candidato a limite é l=a^4.

Passo 3

Para provar rigorosamente, consideramos a diferença
|x^4 - a^4| = |x - a| cdot |x^3 + x^2a + xa^2 + a^3|

Passo 4

Queremos controlar o segundo fator. Se impusermos |x - a| < 1, então |x| < |a| + 1. Assim,
|x^3 + x^2a + xa^2 + a^3| <= |x|^3 + |x|^2|a| + |x||a|^2 + |a|^3 <= 4(|a| + 1)^3

Passo 5

Logo
|x^4 - a^4| <= |x - a| cdot 4(|a| + 1)^3
Para garantir |x^4 - a^4| < varepsilon basta escolher
de
pois então 0<|x-a| implica
|x^4 - a^4| <= |x - a|,4(|a|+1)^3 < varepsilon4(|a|+1)^3,4(|a|+1)^3 = varepsilon

Resposta

l = a^4

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