Ache os extremos e os pontos de sela de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis: $ f(x, y) = 4xy - x^4 - y^2 $. Nosso objetivo é encontrar os extremos (ou seja, os pontos de máximo e mínimo) e os pontos de sela dessa função. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa achar os pontos críticos da função. Esses pontos acontecem onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar onde $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $.
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, igualamos as duas expressões para $ y $:
Passo 4
Vamos resolver $ x^3 = 2x $:
Isso nos dá três soluções:
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de $ y $ usando $ y = 2x $:
Então, os pontos críticos são $ (0, 0) $, $ (\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) $ e $ (-\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) $.
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificar cada um deles usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
E o determinante da matriz Hessiana:
Passo 6
Vamos avaliar o determinante $ D $ e $ f_{xx} $ em cada ponto crítico:
- Ponto (0, 0):
Quando $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
- Ponto (
, ):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto é um ponto de máximo local.
- Ponto (-
, - ):
Aqui também, $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, então é um ponto de máximo local.
Resposta
Os extremos da função $ f(x, y) = 4xy - x^4 - y^2 $ são pontos de máximo local em $ (\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) $ e $ (-\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) $. Além disso, há um ponto de sela em $ (0, 0) $.