Ache os extremos e os pontos de sela de f(x, y)=4 x y-x^4-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis: $ f(x, y) = 4xy - x^4 - y^2 $. Nosso objetivo é encontrar os extremos (ou seja, os pontos de máximo e mínimo) e os pontos de sela dessa função. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa achar os pontos críticos da função. Esses pontos acontecem onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar onde $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $.
Primeira equação:
fx = 0
Segunda equação:
fy = 0
Agora, igualamos as duas expressões para $ y $:
4y - 4x^3 = 0 implies y = x^3

Passo 4

Vamos resolver $ x^3 = 2x $:
x^3 = 2x
Isso nos dá três soluções:
x^3 - 2x = 0 implies x(x^2 - 2) = 0
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de $ y $ usando $ y = 2x $:
x = 0 ou x = raiz2 ou x = -raiz2
y
y = 2x
Então, os pontos críticos são $ (0, 0) $, $ (\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) $ e $ (-\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) $.

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificar cada um deles usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -12x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 4
E o determinante da matriz Hessiana:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2

Passo 6

Vamos avaliar o determinante $ D $ e $ f_{xx} $ em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
D
fxx
Quando $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto ( fxx = -12(0)^2 = 0 , D = 0 cdot (-2) - (4)^2 = -16 ):
D < 0
raiz2
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto é um ponto de máximo local.
  1. Ponto (- 2raiz2, - fxx = -12(raiz2)^2 = -24 ):
D = (-24) cdot (-2) - (4)^2 = 48 - 16 = 32
D > 0
Aqui também, $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, então é um ponto de máximo local.

Resposta

Os extremos da função $ f(x, y) = 4xy - x^4 - y^2 $ são pontos de máximo local em $ (\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) $ e $ (-\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) $. Além disso, há um ponto de sela em $ (0, 0) $.

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