Em cada um dos casos a seguir, determine o limite l para o a dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um de tal que |f(x)-l| para todo x satisfazendo 0<|x-a|.
f(x)=raiz|x|, a=0.

Passo 1

Queremos determinar l=limxto 0raiz|x|. O conteúdo principal aqui é limite de funções e a definição varepsilon- de.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando xto 0 temos |x|to 0 e, consequentemente, raiz|x|to 0. Portanto, nosso palpite para o valor do limite é l=0.

Passo 3

Para provar formalmente, tomamos um varepsilon>0 arbitrário e precisamos encontrar de0 tal que, sempre que 0<|x-0|, valha |raiz|x|-0|. Note que
|\sqrt{|x|}-0| = \sqrt{|x|}.
Queremos então raiz|x|. Elevando ambos os lados ao quadrado (mantendo as desigualdades, pois tudo é não negativo), obtemos
|x| < \varepsilon^2.

Passo 4

Logo, basta escolher
de.
Dessa forma, se 0<|x| então raiz|x|, provando que limxto0raiz|x|=0 pelo critério varepsilon- de.

Resposta

0

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