Em cada um dos casos a seguir, determine o limite
para o
dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um
tal que
para todo
satisfazendo
.
.
Passo 1
Queremos determinar
. O conteúdo principal aqui é limite de funções e a definição
-
.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
temos
e, consequentemente,
. Portanto, nosso palpite para o valor do limite é
.
Passo 3
Para provar formalmente, tomamos um
arbitrário e precisamos encontrar
tal que, sempre que
, valha
. Note que
|\sqrt{|x|}-0| = \sqrt{|x|}.
Queremos então . Elevando ambos os lados ao quadrado (mantendo as desigualdades, pois tudo é não negativo), obtemos
|x| < \varepsilon^2.
|\sqrt{|x|}-0| = \sqrt{|x|}.
Queremos então
|x| < \varepsilon^2.
Passo 4
Logo, basta escolher
.
Dessa forma, se então
, provando que
pelo critério
-
.
Dessa forma, se
Resposta
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