Calcule o limite:
lim x infty (sen x)^2x^2+1

Passo 1

Estamos olhando para o limite \\lim_{x\to\infty} \frac{(\sin x)2}{x2+1}. O assunto aqui é limite de funções e, como o numerador é uma função limitada, vamos precisar usar a ideia de função limitada junto com o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto).

Passo 2

Primeiro, percebemos que para todo x vale \\0 \le (\sin x)^2 \le 1. Dividindo todos os termos por x^2+1 (que é sempre positivo), obtemos a desigualdade \\0 \le \frac{(\sin x)2}{x2+1} \le \frac{1}{x^2+1}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite da função que está “por cima” na desigualdade. Como x cresce muito, temos \\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2+1} = 0. Pelo Teorema do Confronto, a função “intermediária” \\frac{(\sin x)2}{x2+1} também tende a 0.

Passo 4

Logo, usando o Teorema do Confronto, concluímos que \\lim_{x\to\infty} \frac{(\sin x)2}{x2+1} = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados