Encontre a inversa de
, seu domínio e imagem, sendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inversa da função $ f(x) = \ln(x + 3) $, além de determinar o domínio e a imagem dessa inversa. Vamos usar conceitos de funções e suas inversas, especificamente envolvendo funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a função inversa, vamos substituir $ f(x) $ por $ y $:
Agora, a ideia é “trocar” $ x $ e $ y $ para começar a resolver para $ y $:
Passo 3
Para isolar $ y $, precisamos “desfazer” o logaritmo natural. Lembra que $ \ln(a) = b $ é equivalente a $ e^b = a $. Usando essa propriedade:
Passo 4
Agora, é só isolarmos $ y $ subtraindo 3 de ambos os lados da equação:
Então, a função inversa é:
Passo 5
Vamos determinar o domínio e a imagem da função inversa $ f^{-1}(x) $:
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Domínio: Para a função inversa, $ x $ pode ser qualquer número real porque a função exponencial $ e^x $ está definida para todos os reais.
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Imagem: Olhando para $ f^{-1}(x) = e^x - 3 $, sabemos que $ e^x $ é sempre positivo, então $ e^x - 3 $ será maior que $ -3 $. Portanto, a imagem é $ y > -3 $.
Resposta
A função inversa é $ f^{-1}(x) = e^x - 3 $, com domínio em todos os números reais e imagem para $ y > -3 $.