Verifique que existe solução da equação sen
Passo 1
O enunciado pede para verificar que existe pelo menos uma solução real da equação sen x = x² – x. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que diz que se uma função f for contínua num intervalo [a,b] e f(a)·f(b)<0, então existe c∈(a,b) tal que f©=0. Vamos precisar da continuidade de funções trigonométricas e de polinômios.
Passo 2
Definimos a função
Repare que
é contínua em
e o polinômio
também é contínuo em
. Como soma e diferença de funções contínuas é contínua,
é contínua em todo
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, avaliamos em dois pontos:
Como , segue que
.
Como
Como
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
em
tal que
o que equivale a
Logo, a equação dada tem solução real.
Passo 5
(Opcional) Notamos ainda que x=0 também é uma solução trivial, pois
e
, mas a aplicação do Teorema de Bolzano garante uma raiz não trivial em (1,2).
Resposta
Existe pelo menos uma solução c no intervalo (1,2) tal que sen c = c² – c.