Verifique que existe solução da equação sen x=x^2-x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que existe pelo menos uma solução real da equação sen x = x² – x. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que diz que se uma função f for contínua num intervalo [a,b] e f(a)·f(b)<0, então existe c∈(a,b) tal que f©=0. Vamos precisar da continuidade de funções trigonométricas e de polinômios.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=sin x - x^2 + x
Repare que sin x é contínua em R e o polinômio x^2 - x também é contínuo em R. Como soma e diferença de funções contínuas é contínua, f(x) é contínua em todo R.

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, avaliamos em dois pontos:
sin(1) > 0,8
Como f(1) > 0, segue que sin(2) < 1.
f(2) < 1 - 2 = -1 < 0
Como f(1)>0, temos f(2)<0. Assim, e .

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um c em (1,2) tal que
f(c)=0
o que equivale a
sin(c)=c^2 - c
Logo, a equação dada tem solução real.

Passo 5

(Opcional) Notamos ainda que x=0 também é uma solução trivial, pois sin(0)=0 e 0^2-0=0, mas a aplicação do Teorema de Bolzano garante uma raiz não trivial em (1,2).

Resposta

Existe pelo menos uma solução c no intervalo (1,2) tal que sen c = c² – c.

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