Em cada um dos casos a seguir, determine o limite l para o a dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um de tal que |f(x)-l| para todo x satisfazendo 0<|x-a|.
f(x)=raizx, a=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limxto1raizx=l existe e encontrar l, usando a definição forall,varepsilon>0;exists,de0 tal que quando 0<|x-1| então |raizx-l|. O conteúdo é limite de função e prova varepsilon de.

Passo 2

Como raizx é contínua em x=1, o chute óbvio é l=raiz1=1. Agora vamos provar formalmente que limxto1raizx=1.

Passo 3

Seja arbitrário varepsilon>0. Queremos escolher de0 de modo que 0<|x-1| implique |raizx-1|.

Passo 4

Note que
|raizx-1|
é equivalente, para raizx>=0, a
1-varepsilon
Como ambos os lados são não negativos sempre que varepsilon>0, podemos elevar ao quadrado sem inverter desigualdades, obtendo
(1-varepsilon)^2
Isto equivale a
1-2varepsilon+varepsilon^2

Passo 5

Para garantir ao mesmo tempo x>0 (domínio da raiz) e essas duas desigualdades, basta tomar
de
Então, se 0<|x-1|, temos
x>1-de=1-1=0
e
x<1+de
além de
de1-varepsilon(2+varepsilon)>=1-2varepsilon>=1-2varepsilon+varepsilon^2=(1-varepsilon)^2
Portanto
(1-varepsilon)^2
implica
1-varepsilon
e, finalmente, |raizx-1|.

Passo 6

Com isso, mostramos que para todo varepsilon>0 existe de0 satisfazendo a definição de limite. Portanto limxto1raizx=1.

Resposta

1

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