Em cada um dos casos a seguir, determine o limite
para o
dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um
tal que
para todo
satisfazendo
.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
existe e encontrar
, usando a definição
tal que quando
então
. O conteúdo é limite de função e prova
–
.
Passo 2
Como
é contínua em
, o chute óbvio é
. Agora vamos provar formalmente que
.
Passo 3
Seja arbitrário
. Queremos escolher
de modo que
implique
.
Passo 4
Note que
é equivalente, para
, a
Como ambos os lados são não negativos sempre que
, podemos elevar ao quadrado sem inverter desigualdades, obtendo
Isto equivale a
Passo 5
Para garantir ao mesmo tempo
(domínio da raiz) e essas duas desigualdades, basta tomar
Então, se
, temos
e
além de
Portanto
implica
e, finalmente,
.
Passo 6
Com isso, mostramos que para todo
existe
satisfazendo a definição de limite. Portanto
.
Resposta
1