Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R=(0,1) \times(0,2) que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
\left\{\begin{array}{lll}u(x, 0)=\operatorname{sen}(\pi x), & u(x, 2)=\operatorname{sen}(\pi x), & 0 \leq x \leq 1 ; \u(0, y)=\operatorname{sen}(\pi y), & u(1, y)=\operatorname{sen}(\pi y), & 0 \leq y \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laplace no retângulo R=(0,1)\times(0,2) com condições de contorno de Dirichlet nos quatro lados. Especificamente:
  • Domínio: 0<x<1,\\\ 0<y<2.
  • Equação PDE: \Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0 em R.
  • Condições de contorno: u(x,0)=\sin(\pi x),\qquad u(x,2)=\sin(\pi x),\quad 0\le x\le1,
u(0,y)=\sin(\pi y),\qquad u(1,y)=\sin(\pi y),\quad 0\le y\le2.
O que se pede: determinar a função u(x,y) harmônica em R que satisfaz essas quatro condições de contorno.

Passo 2

Idéia de resolução (plano): por linearidade é conveniente decompor u em duas partes que tratam separadamente os dados horizontais e verticais. Procuro
u(x,y)=u_1(x,y)+u_2(x,y),
onde
  • u_1 tem como contorno u_1(x,0)=\sin(\pi x),\\ u_1(x,2)=\sin(\pi x) e se anula nas bordas x=0 e x=1;
  • u_2 tem como contorno u_2(0,y)=\sin(\pi y),\\ u_2(1,y)=\sin(\pi y) e se anula nas bordas y=0 e y=2.
    Assim cada função resolve Laplace com condições de Dirichlet simples (uma só família não nula), e a soma satisfaz todos os contornos. A unicidade da solução do problema de Dirichlet garante que essa soma é a solução desejada.

Passo 3

Construção de u_1. Como u_1 deve anular-se em x=0 e x=1, é natural procurar uma separação do tipo
u_1(x,y)=\sin(\pi x)\,A(y),
porque \sin(\pi x)=0 em x=0,1. Colocando na equação \Delta u_1=0 obtemos
u_{1,xx}+u_{1,yy} = -\pi^2 \sin(\pi x)A(y) + \sin(\pi x)A''(y)=0,
ou seja, para todo y,
A''(y)-\pi^2 A(y)=0.
A equação de ordem 2 tem solução geral
A(y)=\alpha\operatorname{cosh}(\pi y)+\beta\operatorname{sinh}(\pi y).
Agora aplicamos as condições em y:
A(0)=\alpha=1\quad(\text{porque }u_1(x,0)=\sin(\pi x)A(0)=\sin(\pi x)),
A(2)=\operatorname{cosh}(2\pi)+\beta\operatorname{sinh}(2\pi)=1.
Resolvendo para \beta:
\beta=\frac{1-\operatorname{cosh}(2\pi)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}.
Essa expressão pode ser simplificada usando identidades hiperbólicas. Usando \operatorname{cosh}(2t)=2\operatorname{cosh}^2 t-1 e \operatorname{sinh}(2t)=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t, para t=\pi obtemos
\beta=-\frac{\operatorname{sinh}\pi}{\operatorname{cosh}\pi}=-\operatorname{tanh}\pi.
Portanto
A(y)=\operatorname{cosh}(\pi y)-\operatorname{tanh}\pi\;\operatorname{sinh}(\pi y).
Uma forma mais elegante e compacta, válida porque satisfaz as mesmas condições, é
A(y)=\frac{\operatorname{cosh}\!\big(\pi(y-1)\big)}{\operatorname{cosh}\!\big(\pi\big)},
o que é equivalente à expressão anterior (verificação usando \operatorname{cosh}(a-b)=\operatorname{cosh} a\operatorname{cosh} b-\operatorname{sinh} a\operatorname{sinh} b). Assim
u_1(x,y)=\sin(\pi x)\,\frac{\operatorname{cosh}\!\big(\pi(y-1)\big)}{\operatorname{cosh}\!\big(\pi\big)}.

Passo 4

Construção de u_2. Como u_2 deve anular-se nas bordas y=0 e y=2, procuro
u_2(x,y)=\sin(\pi y)\,B(x),
porque \sin(\pi y)=0 em y=0,2. Inserindo em \Delta u_2=0 obtemos a ODE para B:
B''(x)-\pi^2 B(x)=0.
A solução geral é
B(x)=\gamma\operatorname{cosh}(\pi x)+\delta\operatorname{sinh}(\pi x).
Aplicando as condições em x:
B(0)=\gamma=1\quad(\text{pois }u_2(0,y)=\sin(\pi y)B(0)=\sin(\pi y)),
B(1)=\operatorname{cosh}(\pi)+\delta\operatorname{sinh}(\pi)=1.
Assim
\delta=\frac{1-\operatorname{cosh}\pi}{\operatorname{sinh}\pi}=-\frac{\operatorname{cosh}\pi-1}{\operatorname{sinh}\pi}.
Usando identidades hiperbólicas (em particular a identidade para \operatorname{tanh}(\tfrac{\pi}{2})) essa constante pode ser reescrita como \delta=-\operatorname{tanh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big). Uma forma simétrica e compacta para B é
B(x)=\frac{\operatorname{cosh}\!\big(\pi(x-\tfrac{1}{2})\big)}{\operatorname{cosh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)},
que satisfaz B(0)=B(1)=1 e a ODE. Portanto
u_2(x,y)=\sin(\pi y)\,\frac{\operatorname{cosh}\!\big(\pi(x-\tfrac{1}{2})\big)}{\operatorname{cosh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)}.

Passo 5

Soma e verificação rápida. A solução é a soma
u(x,y)=u_1(x,y)+u_2(x,y).
Verificações rápidas dos contornos:
  • Em y=0: \sin(\pi y)=0 u(x,0)=\sin(\pi x)A(0)=\sin(\pi x).
  • Em y=2: \sin(\pi y)=0 u(x,2)=\sin(\pi x)A(2)=\sin(\pi x).
  • Em x=0: \sin(\pi x)=0 u(0,y)=\sin(\pi y)B(0)=\sin(\pi y).
  • Em x=1: \sin(\pi x)=0 u(1,y)=\sin(\pi y)B(1)=\sin(\pi y).
    Cada termo é harmônico (soma de soluções separadas), logo u satisfaz \Delta u=0. A unicidade do problema de Dirichlet confirma que essa é a solução correta.

Passo 6

Resposta final apresentada de maneira compacta e bonita (já é a solução que podes escrever na prova). Fica a dica: decorar o truque da decomposição por superposição e procurar modos senóides em uma variável com soluções hiperbólicas na outra — isso aparece muito em retângulos com contornos senoidais.

Resposta

u(x,y)=\sin(\pi x)\,\frac{\operatorname{cosh}\!\big(\pi(y-1)\big)}{\operatorname{cosh}\!\big(\pi\big)} +\sin(\pi y)\,\frac{\operatorname{cosh}\!\big(\pi(x-\tfrac{1}{2})\big)}{\operatorname{cosh}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)}.

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