Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laplace no retângulo
com condições de contorno de Dirichlet nos quatro lados. Especificamente:
- Domínio:
. - Equação PDE:
em . - Condições de contorno:
O que se pede: determinar a função
harmônica em
que satisfaz essas quatro condições de contorno.
Passo 2
Idéia de resolução (plano): por linearidade é conveniente decompor
em duas partes que tratam separadamente os dados horizontais e verticais. Procuro
onde
-
tem como contorno e se anula nas bordas e ; -
tem como contorno e se anula nas bordas e .
Assim cada função resolve Laplace com condições de Dirichlet simples (uma só família não nula), e a soma satisfaz todos os contornos. A unicidade da solução do problema de Dirichlet garante que essa soma é a solução desejada.
Passo 3
Construção de
. Como
deve anular-se em
e
, é natural procurar uma separação do tipo
porque
em
. Colocando na equação
obtemos
ou seja, para todo
,
A equação de ordem 2 tem solução geral
Agora aplicamos as condições em
:
Resolvendo para
:
Essa expressão pode ser simplificada usando identidades hiperbólicas. Usando
e
, para
obtemos
Portanto
Uma forma mais elegante e compacta, válida porque satisfaz as mesmas condições, é
o que é equivalente à expressão anterior (verificação usando
). Assim
Passo 4
Construção de
. Como
deve anular-se nas bordas
e
, procuro
porque
em
. Inserindo em
obtemos a ODE para
:
A solução geral é
Aplicando as condições em
:
Assim
Usando identidades hiperbólicas (em particular a identidade para
) essa constante pode ser reescrita como
. Uma forma simétrica e compacta para
é
que satisfaz
e a ODE. Portanto
Passo 5
Soma e verificação rápida. A solução é a soma
Verificações rápidas dos contornos:
- Em
: dá . - Em
: dá . - Em
: dá . - Em
: dá .
Cada termo é harmônico (soma de soluções separadas), logosatisfaz . A unicidade do problema de Dirichlet confirma que essa é a solução correta.
Passo 6
Resposta final apresentada de maneira compacta e bonita (já é a solução que podes escrever na prova). Fica a dica: decorar o truque da decomposição por superposição e procurar modos senóides em uma variável com soluções hiperbólicas na outra — isso aparece muito em retângulos com contornos senoidais.