Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
Sugestão: Utilize a série em (a). Para encontrar as outras séries de senos você pode utilizar as igualdades
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (vou listar tudo com calma):
- Domínio: o retângulo
. - Queremos a solução
da equação de Laplace em que satisfaz condições de Dirichlet nas quatro arestas: - Observações úteis (tiradas do enunciado / sugestão):
-
e : ambas anulam nas bordas . -
e : ambas anulam nas bordas . - Relações indicadas que vamos usar mais tarde:
-
Passo 2
Estratégia de solução (em passos concretos e sem pular):
- Usar linearidade: escrever
, onde cada parcela resolve Laplace com dados não nulos apenas numa aresta: -
tem e é zero nas outras três arestas. -
tem e é zero nas outras três arestas. -
tem e é zero nas outras três arestas. -
tem e é zero nas outras três arestas.
-
- Para as condições que valem em
(ou em ), usar séries de senos apropriadas (porque as funções anulam nas extremidades) e a separação de variáveis fornece a dependência em (ou em ) via . - Vou construir cada parcela e depois somar. Isso evita resolver um sistema complicado de coeficientes globais e aproveita as relações dadas para economizar trabalho.
Passo 3
Construção de
(contribuição do bordo inferior
):
- Motivação curta: para dados no bordo
que se anulam em é natural expandir em série de senos Explico: a base satisfaz zero em , e a constante vem da fórmula padrão de coeficiente de série de seno em . - Para cada termo
a equação de Laplace separa e a dependência em que é zero em e igual a 1 em (no modo de construção normalizado) é dada por . Portanto (Esta é a forma padrão: em geral, em , , termo tem fator . Aqui , .)
Passo 4
Cálculo explícito dos coeficientes
para
:
- Defino integral base
- Uso a identidade produto-soma:
Então definimos, para , Fazendo integração por partes com obtemos - Aplicando isto com
, e usando as identidades trigonométricas:
obtemos
- Como
(o vem da identidade produto-soma e o fora cancela), concluímos - Simplificando a diferença de frações:
logo, finalmente,
Passo 5
Construção de
(contribuição do bordo superior
):
- Observação simples:
. Para séries de senos em vale a relação então os coeficientes de são - A solução que tem
e zero nas outras três arestas é, por separação e pela forma padrão, (Note que agora o aparece com em vez de porque queremos zero em e valor em .)
Passo 6
Construção de
(contribuição do bordo esquerdo
):
- Expandimos
em série de senos no intervalo : porque para a fórmula de coeficiente do seno é (a constante com dá ). - Usando a relação do enunciado
fazemos a mudança de variável , : pois . - A dependência em
que é zero em e vale 1 em para cada modo é . Portanto com .
Passo 7
Construção de
(contribuição do bordo direito
):
- De modo análogo,
. Os coeficientes para a série em são e, como vimos, . Então . - A dependência em
que é zero em e vale 1 em é . Portanto
Passo 8
Somando as quatro parcelas e escrevendo tudo em termos de
(simplificação e fórmula final):
- Relembrando o valor explicitado de
obtido no Passo 4: E então
- A solução completa é a soma:
com cada termo dado explicitamente por: - Se quiser juntar
em um único somatório em e em um único somatório em , uma forma compacta é: com dado explicitamente acima.]