Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R=(0,1) \times(0,2)\) que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
\(\begin{cases}u(x, 0)=0, & u(x, 2)=0, \quad 0 \leq x \leq 1 ; \u(0, y)=0, & u(1, y)=y(2-y), \quad 0 \leq y \leq 2 .\end{cases}
Aqui você pode usar a série de senos de g_{2}: \frac{32}{\pi^{3}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{3}} \operatorname{sen}\left(\frac{(2 k-1) \pi}{2} y\right).
Passo 1
O enunciado fornece o problema de contorno para a equação de Laplace no retângulo R=(0,1)\times(0,2) com condições de Dirichlet. Especificamente:
As condições em y são u(x,0)=0 e u(x,2)=0 para todo x. Para uma solução separável isso implica Y(0)=0 e Y(2)=0. Então consideramos o problema de autovalores para Y:
Y''+\lambda Y=0,\qquad Y(0)=Y(2)=0.
É bem conhecido (ou pode-se verificar resolvendo) que há soluções não-triviais apenas para valores \lambda=\lambda_n dados por
Agora usamos a condição na borda x=0: u(0,y)=0 para todo y. Isso implica X_n(0)Y_n(y)=0 e, como Y_n não é identicamente zero, devemos ter X_n(0)=0. Como
Impor a condição em x=1\): \(u(1,y)=y(2-y)\) para \(0\le y\le2\). Denotando \(g(y)=y(2-y)\), obtemos
\[g(y)=u(1,y)=\sum_{n=1}^\infty A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}y\right).
Então g(y) deve ser a série de senos na base \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}y\right). Para encontrar os coeficientes da série usamos a ortogonalidade das funções seno no intervalo [0,2]:
(obs.: de fato o valor para n=m\] é \(\dfrac{2}{2}=1; mais geralmente \int_0^L \sin(\frac{n\pi}{L}y)\sin(\frac{m\pi}{L}y)dy=\frac{L}{2}\delta_{nm}; aqui L=2 dá \frac{L}{2}=1). Assim o coeficiente b_n da expansão