Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R=(0,1) \times(0,2)\) que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas. \(\begin{cases}u(x, 0)=0, & u(x, 2)=0, \quad 0 \leq x \leq 1 ; \u(0, y)=0, & u(1, y)=y(2-y), \quad 0 \leq y \leq 2 .\end{cases}
Aqui você pode usar a série de senos de g_{2}: \frac{32}{\pi^{3}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{3}} \operatorname{sen}\left(\frac{(2 k-1) \pi}{2} y\right).

Passo 1

O enunciado fornece o problema de contorno para a equação de Laplace no retângulo R=(0,1)\times(0,2) com condições de Dirichlet. Especificamente:
  • A equação a satisfazer é
u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=0,\qquad (x,y)\in(0,1)\times(0,2).
  • As condições de contorno são:
u(x,0)=0,\quad u(x,2)=0,\quad 0\le x\le1,
u(0,y)=0,\quad u(1,y)=y(2-y),\quad 0\le y\le2.
O que se pede: determinar a função u(x,y) definida em R que é solução da equação de Laplace e satisfaz essas condições de contorno.

Passo 2

Vamos procurar soluções pelo método clássico de separar variáveis: assumir uma solução do tipo
u(x,y)=X(x)\,Y(y),
onde X depende só de x e Y só de y. Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo soluções não-triviais) temos
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)}=0,
ou seja
\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = -\lambda,
onde \lambda é uma constante de separação. Isso produz dois EDOs:
Y''(y)+\lambda Y(y)=0, \qquad X''(x)-\lambda X(x)=0.

Passo 3

As condições em y são u(x,0)=0 e u(x,2)=0 para todo x. Para uma solução separável isso implica Y(0)=0 e Y(2)=0. Então consideramos o problema de autovalores para Y:
Y''+\lambda Y=0,\qquad Y(0)=Y(2)=0.
É bem conhecido (ou pode-se verificar resolvendo) que há soluções não-triviais apenas para valores \lambda=\lambda_n dados por
\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{2}\right)^2,\qquad n=1,2,3,\dots,
com os autofunções correspondentes
Y_n(y)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}y\right).
Portanto \sqrt{\lambda_n}=\dfrac{n\pi}{2}. Para cada n a equação para X é
X''(x)-\left(\frac{n\pi}{2}\right)^2 X(x)=0,
cuja solução geral é
X_n(x)=A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}x\right)+B_n\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi}{2}x\right).
Agora usamos a condição na borda x=0: u(0,y)=0 para todo y. Isso implica X_n(0)Y_n(y)=0 e, como Y_n não é identicamente zero, devemos ter X_n(0)=0. Como
X_n(0)=A_n\operatorname{sinh}(0)+B_n\operatorname{cosh}(0)=B_n,
segue B_n=0. Assim cada modo tem a forma
u_n(x,y)=A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}x\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}y\right).
Pela linearidade da equação de Laplace, a solução geral (série) é
u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}x\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}y\right).

Passo 4

Impor a condição em x=1\): \(u(1,y)=y(2-y)\) para \(0\le y\le2\). Denotando \(g(y)=y(2-y)\), obtemos \[g(y)=u(1,y)=\sum_{n=1}^\infty A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}y\right).
Então g(y) deve ser a série de senos na base \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}y\right). Para encontrar os coeficientes da série usamos a ortogonalidade das funções seno no intervalo [0,2]:
\int_0^2 \sin\!\left(\frac{n\pi}{2}y\right)\sin\!\left(\frac{m\pi}{2}y\right)\,dy = \begin{cases} 0, & n\ne m,\\[4pt] 1, & n=m\\ \text{?} \end{cases}
(obs.: de fato o valor para n=m\] é \(\dfrac{2}{2}=1; mais geralmente \int_0^L \sin(\frac{n\pi}{L}y)\sin(\frac{m\pi}{L}y)dy=\frac{L}{2}\delta_{nm}; aqui L=2 \frac{L}{2}=1). Assim o coeficiente b_n da expansão
g(y)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}y\right)
é dado por
b_n=\int_0^2 g(y)\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}y\right)\,dy.
Comparando com a série acima, vemos que
A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=b_n, \qquad\text{ou seja}\qquad A_n=\frac{b_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}.]

Passo 5

Agora calculamos b_n. Lembremo-nos que g(y)=y(2-y)=2y-y^2. Defina \lambda=\dfrac{n\pi}{2} para simplicidade. Então
b_n=\int_0^2 (2y-y^2)\sin(\lambda y)\,dy.
Vamos calcular essa integral com partes (mostrando os passos):
Primeiro calculemos
I_1=\int_0^2 y\sin(\lambda y)\,dy.
Por partes, com u=y, dv=\sin(\lambda y)dy, temos du=dy, v=-\dfrac{\cos(\lambda y)}{\lambda}. Logo
I_1=\left.-\frac{y\cos(\lambda y)}{\lambda}\right|_0^2 + \int_0^2 \frac{\cos(\lambda y)}{\lambda}\,dy = -\frac{2\cos(2\lambda)}{\lambda} + \frac{\sin(2\lambda)}{\lambda^2}.
Agora
I_2=\int_0^2 y^2\sin(\lambda y)\,dy.
Fazendo por partes duas vezes (ou uma vez levando a termo \int y\cos), obtém-se
I_2=\left.-\frac{y^2\cos(\lambda y)}{\lambda}\right|_0^2 + \frac{2}{\lambda}\int_0^2 y\cos(\lambda y)\,dy.
E
\int_0^2 y\cos(\lambda y)\,dy = \left.\frac{y\sin(\lambda y)}{\lambda}\right|_0^2 - \int_0^2 \frac{\sin(\lambda y)}{\lambda}\,dy = \frac{2\sin(2\lambda)}{\lambda} + \frac{\cos(2\lambda)-1}{\lambda^2}.
Combinando e simplificando (mostrando os termos para transparência) chega-se a
I_2 = -\frac{4\cos(2\lambda)}{\lambda} + \frac{4\sin(2\lambda)}{\lambda^2} + \frac{2\cos(2\lambda)-2}{\lambda^3}.
Agora volte para b_n=2I_1-I_2. Substituindo I_1 e I_2 e simplificando os termos trigonométricos, obtemos (após cancelamentos)
b_n = -2\frac{\sin(2\lambda)}{\lambda^2} -2\frac{\cos(2\lambda)-1}{\lambda^3} = -\frac{2}{\lambda^3}\big(\lambda\sin(2\lambda)+\cos(2\lambda)-1\big).
Mas para \lambda=\dfrac{n\pi}{2} temos \sin(2\lambda)=\sin(n\pi)=0 e \cos(2\lambda)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Assim
b_n=-\frac{2}{\lambda^3}\big(0+(-1)^n-1\big)=\frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{\lambda^3}.
Portanto b_n=0 para n par e, para n ímpar (escrevendo n=2k-1),
b_{2k-1}=\frac{2\big(1-(-1)^{2k-1}\big)}{\left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2}\right)^3} =\frac{2(1-(-1))}{\left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2}\right)^3} =\frac{4}{\left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2}\right)^3} =\frac{32}{(2k-1)^3\pi^3}.
Isto coincide com a série de senos de g indicada no enunciado.

Passo 6

Voltando para A_n=\dfrac{b_n}{\operatorname{sinh}(\lambda)} com \lambda=\dfrac{n\pi}{2}, vemos que só aparecem modos ímpares. Para n=2k-1 temos
A_{2k-1}=\frac{b_{2k-1}}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2}\right)} =\frac{32}{(2k-1)^3\pi^3}\cdot\frac{1}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2}\right)}.
Assim a solução u(x,y) é a série (somando apenas sobre k=1,2,\dots)
u(x,y)=\sum_{k=1}^\infty A_{2k-1}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{(2k-1)\pi}{2}x\right)\sin\!\left(\frac{(2k-1)\pi}{2}y\right).

Resposta

u(x,y)=\frac{32}{\pi^{3}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2}x\right)}{(2k-1)^{3}\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2}\right)}\, \sin\!\left(\frac{(2k-1)\pi}{2}y\right).

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