Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
Passo 1
O problema pede: encontrar a solução da equação de Laplace no retângulo
Resumindo as informações úteis:
- Domínio:
e na aresta esquerda
; nulas nas arestas e .
- Objetivo: obterem todo .]
Passo 2
Ideia prática (justificativa direta): a equação de Laplace é linear, logo podemos usar superposição. Escrevo
onde
-
resolve Laplace com contornos (ou seja, só a aresta superior não nula); -
resolve Laplace com contornos (ou seja, só a aresta esquerda não nula).
Vou resolver cada um separadamente por separação de variáveis / expansão em autovetores (esta é a técnica padrão para retângulos com contorno de Dirichlet).
Passo 3
Resolver
(contorno não nulo apenas em
).
-
Escolha de base em
. Como , é natural expandir em funções que se anulam em e : as funções , . Esses são autovetores da equação de Sturm–Liouville com autovalores . -
Forma separada. Procura-se soluções do tipo
. Para obtemos
A equação para
tem solução geral
- Impor
. Como para todo , isso força , logo . Assim cada modo tem a forma
- Impor
. Em temos
Comparando com a série em
, vemos que só o termo
aparece no lado direito. Portanto
Logo
- Conclusão para
:
(Comentário curto: foi usado que a base
é ortogonal e que a condição em
corresponde à série de Fourier senoidal; aqui a série tem só um termo.)
Passo 4
Resolver
(contorno não nulo apenas em
).
-
Escolha de base em
. Como , é natural expandir em funções que se anulam em e : as funções , . Esses têm autovalores para o operador de . -
Forma separada. Para
obtemos
A equação para
tem solução geral exponencial. É conveniente escrever em termos de
para impor
. Defina
. Uma solução que satisfaz
e que tem valor
é
De fato,
e
.
- Expandir o contorno em
. Escrevemos
onde
. Em
isso dá
Mas o contorno dado é
. Observando
com
, vemos que a expansão tem apenas o termo
não nulo. Logo
- Conclusão para
. Com e obtemos
Passo 5
Somando as duas soluções parciais (superposição), a solução total é
Substituindo as expressões encontradas:
Verificações rápidas (sentido físico/matemático): cada parcela satisfaz Laplace e as condições de contorno impostas a ela; a soma respeita todas as quatro condições iniciais.