Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R=(0,1) \times(0,2) que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
\left\{\begin{array}{l}u(x, 0)=0, \quad u(x, 2)=\operatorname{sen}(\pi x), \quad 0 \leq x \leq 1 ; \u(0, y)=-\operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi y}{2}\right), \quad u(1, y)=0, \quad 0 \leq y \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede: encontrar a solução da equação de Laplace no retângulo R=(0,1)\times(0,2)\) que satisfaz as condições de Dirichlet \[\begin{cases} u(x,0)=0, & 0\le x\le1,\\[4pt] u(x,2)=\sin(\pi x), & 0\le x\le1,\\[4pt] u(0,y)=-\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi y}{2}\bigr), & 0\le y\le2,\\[4pt] u(1,y)=0, & 0\le y\le2. \end{cases}
Resumindo as informações úteis:
  • Domínio: R=(0,1)\times(0,2)\]. - Condições de contorno: não nulas na aresta superior \(y=2 e na aresta esquerda x=0; nulas nas arestas y=0 e x=1.
    - Objetivo: obter u(x,y) em todo R.]

Passo 2

Ideia prática (justificativa direta): a equação de Laplace é linear, logo podemos usar superposição. Escrevo
u(x,y)=u^{(1)}(x,y)+u^{(2)}(x,y),
onde
  • u^{(1)} resolve Laplace com contornos u^{(1)}(x,0)=0,\\ u^{(1)}(x,2)=\sin(\pi x),\\ u^{(1)}(0,y)=0,\\ u^{(1)}(1,y)=0 (ou seja, só a aresta superior não nula);
  • u^{(2)} resolve Laplace com contornos u^{(2)}(x,0)=0,\\ u^{(2)}(x,2)=0,\\ u^{(2)}(0,y)=-\sin(\tfrac{3\pi y}{2}),\\ u^{(2)}(1,y)=0 (ou seja, só a aresta esquerda não nula).
Vou resolver cada um separadamente por separação de variáveis / expansão em autovetores (esta é a técnica padrão para retângulos com contorno de Dirichlet).

Passo 3

Resolver u^{(1)} (contorno não nulo apenas em y=2).
  1. Escolha de base em x. Como u^{(1)}(0,y)=u^{(1)}(1,y)=0, é natural expandir em funções que se anulam em x=0 e x=1: as funções \sin(n\pi x), n=1,2,\dots. Esses são autovetores da equação de Sturm–Liouville com autovalores \lambda_n=(n\pi)^2.
  2. Forma separada. Procura-se soluções do tipo X(x)Y(y). Para \lambda=(n\pi)^2 obtemos
X_n(x)=\sin(n\pi x),\qquad Y_n''(y)-(n\pi)^2 Y_n(y)=0.
A equação para Y_n tem solução geral
Y_n(y)=A_n\operatorname{cosh}(n\pi y)+B_n\operatorname{sinh}(n\pi y).
  1. Impor y=0. Como u^{(1)}(x,0)=0 para todo x, isso força Y_n(0)=0, logo A_n=0. Assim cada modo tem a forma
\text{modo }n:\quad C_n\operatorname{sinh}(n\pi y)\sin(n\pi x).
  1. Impor y=2. Em y=2 temos
u^{(1)}(x,2)=\sum_{n=1}^\infty C_n\operatorname{sinh}(2n\pi)\sin(n\pi x)=\sin(\pi x).
Comparando com a série em \{\sin(n\pi x)\}, vemos que só o termo n=1 aparece no lado direito. Portanto
C_1\operatorname{sinh}(2\pi)=1,\qquad C_n=0\\ \text{para }n\ge2.
Logo
C_1=\dfrac{1}{\operatorname{sinh}(2\pi)}.
  1. Conclusão para u^{(1)}:
u^{(1)}(x,y)=\dfrac{\operatorname{sinh}(\pi y)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\sin(\pi x).
(Comentário curto: foi usado que a base \sin(n\pi x) é ortogonal e que a condição em y=2 corresponde à série de Fourier senoidal; aqui a série tem só um termo.)

Passo 4

Resolver u^{(2)} (contorno não nulo apenas em x=0).
  1. Escolha de base em y. Como u^{(2)}(x,0)=u^{(2)}(x,2)=0, é natural expandir em funções que se anulam em y=0 e y=2: as funções \sin\!\bigl(m\pi y/2\bigr), m=1,2,\dots. Esses têm autovalores \mu_m=(m\pi/2)^2 para o operador de y.
  2. Forma separada. Para \mu=\mu_m obtemos
Y_m(y)=\sin\!\bigl(m\pi y/2\bigr),\qquad X_m''(x)-\mu_m X_m(x)=0.
A equação para X_m tem solução geral exponencial. É conveniente escrever em termos de \operatorname{sinh} para impor X_m(1)=0. Defina k_m:=\dfrac{m\pi}{2}. Uma solução que satisfaz X_m(1)=0 e que tem valor X_m(0)=1 é
X_m(x)=\dfrac{\operatorname{sinh}\!\bigl(k_m(1-x)\bigr)}{\operatorname{sinh}(k_m)}.
De fato, X_m(1)=0 e X_m(0)=1.
  1. Expandir o contorno em x=0. Escrevemos
u^{(2)}(x,y)=\sum_{m=1}^\infty b_m\,\dfrac{\operatorname{sinh}\!\bigl(k_m(1-x)\bigr)}{\operatorname{sinh}(k_m)}\sin(k_m y),
onde k_m=\dfrac{m\pi}{2}. Em x=0 isso dá
u^{(2)}(0,y)=\sum_{m=1}^\infty b_m\sin\!\bigl(k_m y\bigr).
Mas o contorno dado é u^{(2)}(0,y)=-\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi y}{2}\bigr). Observando \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi y}{2}\bigr)=\sin(k_3 y) com m=3, vemos que a expansão tem apenas o termo m=3 não nulo. Logo
b_3=-1,\qquad b_m=0\text{ para }m\ne3.
  1. Conclusão para u^{(2)}. Com m=3 e k_3=\tfrac{3\pi}{2} obtemos
u^{(2)}(x,y)=-\dfrac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}(1-x)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)}\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi y}{2}\bigr).

Passo 5

Somando as duas soluções parciais (superposição), a solução total é
u(x,y)=u^{(1)}(x,y)+u^{(2)}(x,y).
Substituindo as expressões encontradas:
u(x,y)=\dfrac{\operatorname{sinh}(\pi y)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\sin(\pi x)\;-\;\dfrac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}(1-x)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)}\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi y}{2}\bigr).
Verificações rápidas (sentido físico/matemático): cada parcela satisfaz Laplace e as condições de contorno impostas a ela; a soma respeita todas as quatro condições iniciais.

Resposta

u(x,y)=\dfrac{\operatorname{sinh}(\pi y)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\sin(\pi x)\;-\;\dfrac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}(1-x)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)}\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi y}{2}\bigr).

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