Em cada um dos casos a seguir, obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e A^{\prime}. Também determine os pontos de interseção dessas retas com os eixos coordenados.
(f) A=(-3,-1), \quad A^{\prime}=(5,2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Obter a equação da reta que passa pelos pontos A=(-3,-1) e A'=(5,2).
  • Determinar os pontos de interseção dessa reta com os eixos coordenados (interseção com o eixo x e com o eixo y).
As informações fornecidas são somente as coordenadas dos dois pontos:
  • A = (-3,-1).
  • A' = (5,2).

Passo 2

Primeiro conceito importante: a inclinação (ou coeficiente angular) de uma reta que passa por dois pontos é a "variação em y" dividida pela "variação em x". Em fórmulas, se temos dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o coeficiente angular m é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Isto mede quanto y sobe (ou desce) quando x avança uma unidade — é o famoso “rise over run”. Agora aplicamos aos pontos dados, escolhendo (x_1,y_1)=(-3,-1) e (x_2,y_2)=(5,2):
m=\frac{2-(-1)}{5-(-3)}=\frac{2+1}{5+3}=\frac{3}{8}.
Portanto a reta tem coeficiente angular m=\dfrac{3}{8}. Interpretação rápida: a cada aumento de 8 unidades em x, y aumenta 3 unidades.

Passo 3

Segundo conceito: forma ponto-declive (point-slope) da equação de uma reta. Se uma reta tem coeficiente angular m e passa por um ponto (x_0,y_0), sua equação é
y-y_0=m(x-x_0).
Essa fórmula vem da definição de inclinação: a diferença y-y_0 dividida por x-x_0 tem de ser igual a m. Usamos essa forma com o ponto A=(-3,-1) e m=\dfrac{3}{8}:
y-(-1)=\frac{3}{8}\bigl(x-(-3)\bigr).
Simplificando os sinais:
y+1=\frac{3}{8}(x+3).

Passo 4

Agora manipulamos para obter a forma mais conhecida y=mx+b (declive-intercepto). Primeiro expandimos o lado direito:
y+1=\frac{3}{8}x+\frac{9}{8}.
Isolando y:
y=\frac{3}{8}x+\frac{9}{8}-1.
Como 1=\dfrac{8}{8}, temos
y=\frac{3}{8}x+\frac{9-8}{8}=\frac{3}{8}x+\frac{1}{8}.
Essa é a equação na forma y=mx+b com m=\dfrac{3}{8} e intercepto em y igual a \dfrac{1}{8}.

Passo 5

Para achar a interseção com o eixo y: por definição, o eixo y tem x=0. Substituímos x=0 na equação y=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{8}:
y=\frac{3}{8}\cdot 0+\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.
Logo o ponto de interseção com o eixo y é \left(0,\frac{1}{8}\right).

Passo 6

Para achar a interseção com o eixo x: no eixo x temos y=0. Colocamos y=0 e resolvemos para x:
0=\frac{3}{8}x+\frac{1}{8}.
Multiplicando ambos os lados por 8 para evitar frações:
0=3x+1 \quad\Rightarrow\quad 3x=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{1}{3}.
Portanto o ponto de interseção com o eixo x é \left(-\frac{1}{3},0\right).

Passo 7

Validação rápida (sempre bom checar): substituindo x=-3 na equação y=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{8} obtém-se y=-1, e substituindo x=5 obtém-se y=2. Logo a reta realmente passa por A e A'.

Resposta

y=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{8}
Interseções: com o eixo x; em \left(-\dfrac{1}{3},0\right) e com o eixo y; em \left(0,\dfrac{1}{8}\right).

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