Determine a equação da reta com as características dadas.
(c) Perpendicular a
passando por
(c) Perpendicular a
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Temos a reta dada pela equação
. - Temos um ponto
. - Pede-se a equação da reta que é perpendicular à reta dada e que passa por
.
Passo 2
Encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta dada. Para isso, escrevemos a equação
na forma
(forma reduzida), isolando
:
Passo 3
Interpretando o resultado: na forma
o número
é o coeficiente angular (slope), que mede a variação de
quando
aumenta de 1. Da equação
concluímos que o coeficiente angular da reta dada é
Passo 4
Propriedade de retas perpendiculares (explicação didática): se duas retas não são verticais e têm coeficientes angulares
e
, elas são perpendiculares quando o produto dos coeficientes vale
. Ou seja,
Isso significa que
é o negativo do inverso de
(chamado de negativo recíproco). Um jeito simples de lembrar: para achar o coeficiente da perpendicular, troca o sinal e faz o recíproco.
Passo 5
Aplicando a propriedade ao nosso caso: como
, o coeficiente angular da reta perpendicular será
Passo 6
Usar a forma ponto-ângulo (point-slope) da equação da reta para obter a equação que passa por
com coeficiente
. A fórmula é
onde
é um ponto da reta e
é o coeficiente angular. Substituindo
,
e
:
Passo 7
Limpar a fração para facilitar manipulações (multiplicar ambos os lados por
):
Agora desenvolver os parênteses:
Passo 8
Organizar todos os termos no mesmo lado para obter a forma padrão da reta. Somando
a ambos os lados e subtraindo
de ambos os lados:
(Fazendo uma verificação rápida: na forma reduzida a partir de
obtemos
e
, que retorna o coeficiente
e ao pôr
dá
, então está consistente.)