Determine a equação da reta com as características dadas.
(c) Perpendicular a 3 x-y+1=0 passando por P=(2,2)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Temos a reta dada pela equação 3x - y + 1 = 0.
  • Temos um ponto P = (2,2).
  • Pede-se a equação da reta que é perpendicular à reta dada e que passa por P.

Passo 2

Encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta dada. Para isso, escrevemos a equação 3x - y + 1 = 0 na forma y = mx + b (forma reduzida), isolando y:
3x - y + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -y = -3x -1 \quad\Rightarrow\quad y = 3x + 1.

Passo 3

Interpretando o resultado: na forma y = mx + b o número m é o coeficiente angular (slope), que mede a variação de y quando x aumenta de 1. Da equação \,y = 3x + 1 concluímos que o coeficiente angular da reta dada é
m_1 = 3.

Passo 4

Propriedade de retas perpendiculares (explicação didática): se duas retas não são verticais e têm coeficientes angulares m_1 e m_2, elas são perpendiculares quando o produto dos coeficientes vale -1. Ou seja,
m_1 m_2 = -1.
Isso significa que m_2 é o negativo do inverso de m_1 (chamado de negativo recíproco). Um jeito simples de lembrar: para achar o coeficiente da perpendicular, troca o sinal e faz o recíproco.

Passo 5

Aplicando a propriedade ao nosso caso: como m_1 = 3, o coeficiente angular da reta perpendicular será
m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{3}.

Passo 6

Usar a forma ponto-ângulo (point-slope) da equação da reta para obter a equação que passa por P=(2,2) com coeficiente m_2. A fórmula é
y - y_0 = m(x - x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto da reta e m é o coeficiente angular. Substituindo x_0=2, y_0=2 e m=-\dfrac{1}{3}:
y - 2 = -\frac{1}{3}\,(x - 2).

Passo 7

Limpar a fração para facilitar manipulações (multiplicar ambos os lados por 3):
3(y - 2) = -(x - 2).
Agora desenvolver os parênteses:
3y - 6 = -x + 2.

Passo 8

Organizar todos os termos no mesmo lado para obter a forma padrão da reta. Somando x a ambos os lados e subtraindo 2 de ambos os lados:
x + 3y - 8 = 0.
(Fazendo uma verificação rápida: na forma reduzida a partir de x + 3y - 8 = 0 obtemos 3y = -x + 8 e y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{8}{3}, que retorna o coeficiente -\dfrac{1}{3} e ao pôr x=2 y=2, então está consistente.)

Resposta

x+3y-8=0

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