1. Cada conjunto de vetores linearmente independente em \mathbb{R}^{n} está contido em alguma base de \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto linearmente independente S\subset\mathbb{R}^n e pede para mostrar que existe uma base B de \mathbb{R}^n tal que S\subset B. O conteúdo aqui envolve noções de base, dimensão de espaço vetorial e extensão de conjuntos linearmente independentes.

Passo 2

Lembrando que uma base de \mathbb{R}^n é um conjunto de vetores que (1) é linearmente independente e (2) gera todo \mathbb{R}^n. O teorema fundamental diz que toda base de \mathbb{R}^n tem exatamente n vetores, ou seja, \dim(\mathbb{R}^n)=n. Além disso, qualquer conjunto linearmente independente em \mathbb{R}^n tem no máximo n vetores.

Passo 3

Seja S=\{v_1,\dots,v_k\} e suponha k=n. Então S é um conjunto de n vetores linearmente independente em \mathbb{R}^n, o que implica automaticamente que \Span(S)=\mathbb{R}^n. Logo, S já é uma base e estamos feitos.

Passo 4

Se k<n, então \Span(S)\neq\mathbb{R}^n. Assim existe algum vetor v_{k+1}\in\mathbb{R}^n tal que
v_{k+1}\notin\Span(S).
Definimos S_1=S\cup\{v_{k+1}\}. Como v_{k+1} não está no span de S, o novo conjunto S_1 continua linearmente independente e tem k+1 vetores.

Passo 5

Se k+1<n, repetimos o mesmo argumento: enquanto o conjunto atual não gerar \mathbb{R}^n, escolhemos um vetor fora do seu span e adicionamos. Cada adição aumenta em 1 o tamanho do conjunto e preserva a independência. Como não podemos ter mais de n vetores linearmente independentes, esse processo termina em no máximo n-k etapas com um conjunto de n vetores que gera \mathbb{R}^n.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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