- Cada conjunto de vetores linearmente independente em
está contido em alguma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um conjunto linearmente independente
e pede para mostrar que existe uma base
de
tal que
. O conteúdo aqui envolve noções de base, dimensão de espaço vetorial e extensão de conjuntos linearmente independentes.
Passo 2
Lembrando que uma base de
é um conjunto de vetores que (1) é linearmente independente e (2) gera todo
. O teorema fundamental diz que toda base de
tem exatamente
vetores, ou seja,
. Além disso, qualquer conjunto linearmente independente em
tem no máximo
vetores.
Passo 3
Seja
e suponha
. Então
é um conjunto de
vetores linearmente independente em
, o que implica automaticamente que
. Logo,
já é uma base e estamos feitos.
Passo 4
Se
, então
. Assim existe algum vetor
tal que
Definimos
. Como
não está no span de
, o novo conjunto
continua linearmente independente e tem
vetores.
Passo 5
Se
, repetimos o mesmo argumento: enquanto o conjunto atual não gerar
, escolhemos um vetor fora do seu span e adicionamos. Cada adição aumenta em 1 o tamanho do conjunto e preserva a independência. Como não podemos ter mais de
vetores linearmente independentes, esse processo termina em no máximo
etapas com um conjunto de
vetores que gera
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.