Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A^{2}=A.
Mostre que uma matriz idempotente é inversível se e somente se, é a matriz Identidade.

Passo 1

O enunciado fala de matrizes idempotentes, ou seja, de ordem n que satisfazem
A^2 = A.
Queremos mostrar que, entre essas, apenas a identidade I_n é invertível.

Passo 2

Suponha que A seja idempotente e invertível. Então existe A^{-1} tal que A A^{-1}=I_n. Da equação
A^2 = A
multiplicamos à direita por A^{-1}:
A^2 A^{-1} \;=\; A A^{-1}.
No lado esquerdo temos (A^2)A^{-1}=A\,(AA^{-1})=A\,I_n=A, e no direito A A^{-1}=I_n. Logo
A = I_n.

Passo 3

Por outro lado, a matriz identidade satisfaz
I_n^2 = I_n
e é obviamente invertível com I_n^{-1}=I_n. Portanto I_n é idempotente e invertível.

Resposta

A única matriz idempotente e inversível é a matriz identidade I_n.

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