Considere os vetores v_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & x \\\\ -1 & 0\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{cc}-1 & -2 \\\ y & 2\end{array}\right) e v_{4}= \left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ 2 y & z\end{array}\right) de M_{2}(\mathbb{R}). Determine, se possível, os valores de x, y e z para que cada item abaixo seja verdadeiro.
\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é L.I.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes em M_{2}(\mathbb{R})
v_{1} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad v_{2} = \begin{pmatrix}2 & x \\\\ -1 & 0\end{pmatrix},\quad v_{3} = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\\ y & 2\end{pmatrix},
e pede para determinar x e y de forma que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} seja linearmente independente. O conteúdo usado aqui é a definição de independência linear:
\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é L.I. se a única combinação
\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\lambda_{3}v_{3}=0
é \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0.”

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual à matriz nula e igualamos as entradas correspondentes. Sejam \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} os escalares:
\lambda_{1}\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&0\end{pmatrix} +\lambda_{2}\begin{pmatrix}2&x\\\ -1&0\end{pmatrix} +\lambda_{3}\begin{pmatrix}-1&-2\y&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \lambda_{1}+2\lambda_{2}-\lambda_{3}=0,\\\\ 2\lambda_{1}+x\lambda_{2}-2\lambda_{3}=0,\\\\ -\lambda_{2}+y\lambda_{3}=0,\\\\ 2\lambda_{3}=0. \end{cases}

Passo 3

Da última equação vem imediatamente \lambda_{3}=0. Substituindo em -\lambda_{2}+y\lambda_{3}=0 \lambda_{2}=0. Por fim, em \lambda_{1}+2\lambda_{2}-\lambda_{3}=0 obtemos \lambda_{1}=0. Portanto só há a solução trivial, sem depender de x nem de y.

Resposta

\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente para todos os valores de x,y\in\mathbb{R}.

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