1. Qualquer matriz quadrada pode ser uma matriz de transição de certas bases B_{1} e B_{2} de \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado afirma que “qualquer matriz quadrada” (digamos A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})) pode ser usada como matriz de transição entre duas bases B_{1} e B_{2} de \mathbb{R}^{n}. O conteúdo envolvido é Álgebra Linear, mais especificamente mudança de base. Para resolver, vamos lembrar o que é uma matriz de transição e suas propriedades.

Passo 2

Definição: dada uma base B_{1}=(v_{1},\dots,v_{n}) e outra base B_{2}=(w_{1},\dots,w_{n}) de \mathbb{R}^{n}, a matriz de transição de B_{2} para B_{1}, denotada P_{B_{1}\leftarrow B_{2}}, é aquela cuja j-ésima coluna são as coordenadas de w_{j} em relação a B_{1}. Ou seja, se
w_{j} = c_{1j}v_{1} + \cdots + c_{nj}v_{n},
então a coluna j de P_{B_{1}\leftarrow B_{2}} é \begin{pmatrix}c_{1j}\\\ \vdots\\\ c_{nj}\end{pmatrix}.

Passo 3

Propriedade essencial: a mudança de base é um isomorfismo linear que leva uma base em outra. Logo, a matriz de transição P_{B_{1}\leftarrow B_{2}} é a matriz da identidade (em coordenadas) e deve ser invertível. Em termos de determinante,
\det\bigl(P_{B_{1}\leftarrow B_{2}}\bigr)\neq0.

Passo 4

Logo, nem toda matriz quadrada serve: apenas aquelas que são invertíveis (isto é, pertencem ao grupo \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})). Se A for singular ( \det A=0), não existe forma de associá-la a uma mudança de base, pois então colunas de A seriam linearmente dependentes e não formariam uma base.

Passo 5

Contraexemplo simples: seja
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
Temos \det A=1\cdot4-2\cdot2=0, logo A não é invertível. Se hipoteticamente fosse mudança de base, as colunas de A teriam de ser duas bases de \mathbb{R}^{2}, mas são múltiplas, não formam base.

Resposta

A afirmativa é Falsa. Só matrizes invertíveis podem ser matrizes de transição de bases em \mathbb{R}^{n}.

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