Para cada um dos conjuntos abaixo, dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita:
(c) \mathbb{Z};

Passo 1

O enunciado pede: para o conjunto \mathbb{Z} (os inteiros), dar um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita.
Informações relevantes dadas/assumidas:
  • O conjunto a cobrir é \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}.
  • Assume-se a topologia usual em \mathbb{R} (ou seja, conjuntos abertos em \mathbb{R}); a cobertura deve ser por conjuntos abertos de \mathbb{R} cuja união contém \mathbb{Z}.
  • Pede-se explicitamente uma cobertura aberta sem nenhuma subcobertura finita.

Passo 2

Definições que vamos usar (para ficar bem claro):
  • Uma família de conjuntos \mathcal{U} é uma cobertura (ou cover) de \mathbb{Z} se \mathbb{Z} \subseteq \bigcup_{U\in\mathcal{U}} U.
  • Uma subcobertura é uma subfamília \mathcal{V}\subseteq\mathcal{U} que ainda satisfaz \mathbb{Z} \subseteq \bigcup_{V\in\mathcal{V}} V.
  • Uma subcobertura finita é uma subcobertura composta por um número finito de conjuntos.
    Vou construir uma família explícita de abertos que cobre \mathbb{Z} e depois mostrar que nenhuma subfamília finita consegue cobrir todos os inteiros.

Passo 3

Construção da cobertura. Para cada inteiro n\in\mathbb{Z} defino o aberto em \mathbb{R}
U_n = \left(n-\tfrac{1}{2},\,n+\tfrac{1}{2}\right).
Cada U_n é um intervalo aberto em \mathbb{R}, portanto é aberto. Considere a família
\mathcal{U}=\{\,U_n : n\in\mathbb{Z}\,\}.

Passo 4

Verificação de que \mathcal{U} é uma cobertura de \mathbb{Z}.
Tomando qualquer inteiro m\in\mathbb{Z}, observa-se que m\in U_m porque
m\in\left(m-\tfrac{1}{2},m+\tfrac{1}{2}\right).
Logo cada inteiro está em algum U_n, portanto
\mathbb{Z}\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{Z}} U_n,
ou seja, \mathcal{U} é realmente uma cobertura aberta de \mathbb{Z}.

Passo 5

Mostrando que não existe subcobertura finita. Suponha, por contradição, que exista uma subfamília finita que cobre \mathbb{Z}. Então existem índices finitos n_1,n_2,\dots,n_k\in\mathbb{Z} tais que
\mathbb{Z}\subseteq U_{n_1}\cup U_{n_2}\cup\cdots\cup U_{n_k}.
Seja N=\max\{|n_1|,\dots,|n_k|\}. Todos os intervalos U_{n_i} estão contidos no intervalo \bigl(-N-\tfrac{1}{2},\,N+\tfrac{1}{2}\bigr). Assim a união finita U_{n_1}\cup\cdots\cup U_{n_k} é um subconjunto de \bigl(-N-\tfrac{1}{2},\,N+\tfrac{1}{2}\bigr), que contém apenas os inteiros entre -N e N. Portanto inteiros com valor absoluto maior que N (por exemplo N+1) não estão cobertos, contradizendo a hipótese de que a união finita cobre \mathbb{Z}. Logo não existe subcobertura finita.

Passo 6

Observação pedagógica e variações. A ideia essencial é construir um aberto distinto “per inteiro” (como intervalos pequenos centrados em cada inteiro). Qualquer família que atribua a cada inteiro um aberto pequeno que não alcance inteiros arbitrariamente distantes dará uma cobertura sem subcobertura finita. Por exemplo, poderia usar V_n=(n-\tfrac{1}{3},n+\tfrac{1}{3}) em vez de U_n; o argumento é idêntico.

Resposta

\displaystyle \mathcal{U}=\{\,\left(n-\tfrac{1}{2},n+\tfrac{1}{2}\right):n\in\mathbb{Z}\,\}

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