Para cada um dos conjuntos abaixo, dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita:
(c)
;
(c)
Passo 1
O enunciado pede: para o conjunto
(os inteiros), dar um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita.
Informações relevantes dadas/assumidas:
Informações relevantes dadas/assumidas:
- O conjunto a cobrir é
. - Assume-se a topologia usual em
(ou seja, conjuntos abertos em ); a cobertura deve ser por conjuntos abertos de cuja união contém . - Pede-se explicitamente uma cobertura aberta sem nenhuma subcobertura finita.
Passo 2
Definições que vamos usar (para ficar bem claro):
- Uma família de conjuntos
é uma cobertura (ou cover) de se . - Uma subcobertura é uma subfamília
que ainda satisfaz . - Uma subcobertura finita é uma subcobertura composta por um número finito de conjuntos.
Vou construir uma família explícita de abertos que cobree depois mostrar que nenhuma subfamília finita consegue cobrir todos os inteiros.
Passo 3
Construção da cobertura. Para cada inteiro
defino o aberto em
Cada
é um intervalo aberto em
, portanto é aberto. Considere a família
Passo 4
Verificação de que
é uma cobertura de
.
Tomando qualquer inteiro , observa-se que
porque
Tomando qualquer inteiro
Logo cada inteiro está em algum
, portanto
ou seja,
é realmente uma cobertura aberta de
.
Passo 5
Mostrando que não existe subcobertura finita. Suponha, por contradição, que exista uma subfamília finita que cobre
. Então existem índices finitos
tais que
Seja
. Todos os intervalos
estão contidos no intervalo
. Assim a união finita
é um subconjunto de
, que contém apenas os inteiros entre
e
. Portanto inteiros com valor absoluto maior que
(por exemplo
) não estão cobertos, contradizendo a hipótese de que a união finita cobre
. Logo não existe subcobertura finita.
Passo 6
Observação pedagógica e variações. A ideia essencial é construir um aberto distinto “per inteiro” (como intervalos pequenos centrados em cada inteiro). Qualquer família que atribua a cada inteiro um aberto pequeno que não alcance inteiros arbitrariamente distantes dará uma cobertura sem subcobertura finita. Por exemplo, poderia usar
em vez de
; o argumento é idêntico.