Para cada um dos conjuntos abaixo, dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita:
(b) 0,+\infty);

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um exemplo de uma cobertura aberta de [0,+\infty) que não admita subcobertura finita.
Informações relevantes dadas:
  • O conjunto a ser coberto é [0,+\infty).
  • Precisa-se de uma família de conjuntos abertos cuja união contenha [0,+\infty).
  • Deve-se mostrar que nenhuma subfamília finita dessa família consegue cobrir [0,+\infty).

Passo 2

Definição do exemplo. Considere, para cada n\in\mathbb{N}, o intervalo aberto
U_n = (-1,n).
A família proposta é
\mathcal{U}=\{\,U_n : n\in\mathbb{N}\,\}=\{(-1,n)\mid n\in\mathbb{N}\}.

Passo 3

Verificar que cada U_n é aberto. Cada U_n é um intervalo aberto da forma (-1,n), e intervalos abertos no espaço métrico usual \mathbb{R} são conjuntos abertos. Logo todos os U_n são abertos.

Passo 4

Verificar que \mathcal{U} cobre [0,+\infty). Calcule a união:
\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(-1,n)=(-1,\infty).
Como ( -1,\infty) contém [0,+\infty), a família \mathcal{U} é de fato uma cobertura aberta de [0,+\infty).

Passo 5

Mostrar que não existe subcobertura finita. Suponha, por contradição, que exista uma subfamília finita que cubra [0,+\infty). Então existem índices n_1,\dots,n_k\in\mathbb{N} tais que
[0,+\infty)\subseteq U_{n_1}\cup\cdots\cup U_{n_k}.
Seja N=\max\{n_1,\dots,n_k\}. Então a união acima está contida em
U_{n_1}\cup\cdots\cup U_{n_k}\subseteq (-1,N).
Mas N\in[0,+\infty) e N\notin(-1,N), portanto N não está coberto por essa união finita — contradição. Assim nenhuma subfamília finita de \mathcal{U} pode cobrir [0,+\infty).

Passo 6

Conclusão: a família \mathcal{U}=\{(-1,n)\mid n\in\mathbb{N}\} é uma cobertura aberta de [0,+\infty) que não possui subcobertura finita.

Resposta

\{(-1,n)\mid n\in\mathbb{N}\}

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