Para cada um dos conjuntos abaixo, dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita:
(b)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um exemplo de uma cobertura aberta de
que não admita subcobertura finita.
Informações relevantes dadas:
- O conjunto a ser coberto é
. - Precisa-se de uma família de conjuntos abertos cuja união contenha
. - Deve-se mostrar que nenhuma subfamília finita dessa família consegue cobrir
.
Passo 2
Definição do exemplo. Considere, para cada
, o intervalo aberto
A família proposta é
Passo 3
Verificar que cada
é aberto. Cada
é um intervalo aberto da forma
, e intervalos abertos no espaço métrico usual
são conjuntos abertos. Logo todos os
são abertos.
Passo 4
Verificar que
cobre
. Calcule a união:
Como
contém
, a família
é de fato uma cobertura aberta de
.
Passo 5
Mostrar que não existe subcobertura finita. Suponha, por contradição, que exista uma subfamília finita que cubra
. Então existem índices
tais que
Seja
. Então a união acima está contida em
Mas
e
, portanto
não está coberto por essa união finita — contradição. Assim nenhuma subfamília finita de
pode cobrir
.
Passo 6
Conclusão: a família
é uma cobertura aberta de
que não possui subcobertura finita.