Para cada um dos conjuntos abaixo, dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita:
(a)
;
(a)
Passo 1
O que o problema pede: dar um exemplo de uma cobertura aberta de
que NÃO admita subcobertura finita.
Informações dadas: o conjunto a ser coberto é . O que preciso entregar é uma família de conjuntos abertos (no sentido da topologia usual de
) cuja união contém
e tal que nenhuma subfamília finita já cubra
.
Informações dadas: o conjunto a ser coberto é
Passo 2
Vou propor uma cobertura natural e simples. Defina a família
Cada conjunto
é um intervalo aberto em
, logo é aberto. A família
é, portanto, uma coleção de abertos.
Passo 3
Vou mostrar que
realmente cobre
. Seja
. Como
, existe um inteiro
tal que
(basta escolher
). Para esse
vale
portanto
. Assim todo
pertence a pelo menos um conjunto de
. Logo
, ou seja,
é uma cobertura de
.
Passo 4
Agora provarei que não existe subcobertura finita. Suponha, por contradição, que há um subcoleção finita que cobre
. Essa subcoleção usa apenas índices finitos
. Seja
A união desses
intervalos é
pois dentre os intervalos
o que tem a maior fronteira à esquerda é
. Considere o ponto
Temos
(logo
), mas
, portanto
. Assim
não pertence à união finita escolhida, contradizendo a hipótese de que a subcoleção finita cobrisse
. Portanto nenhuma subcobertura finita existe.
Passo 5
Resumo e intuição final: a família
é formada por intervalos abertos cujo lado esquerdo aproxima-se de
quando
; para cobrir pontos muito próximos de
é preciso escolher índices
suficientemente grandes, então qualquer seleção finita deixa de cobrir algum ponto pequeno positivo. Isso garante que não haja subcobertura finita.