Para cada um dos conjuntos abaixo, dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita:
(a) (0,1];

Passo 1

O que o problema pede: dar um exemplo de uma cobertura aberta de (0,1] que NÃO admita subcobertura finita.
Informações dadas: o conjunto a ser coberto é (0,1]. O que preciso entregar é uma família de conjuntos abertos (no sentido da topologia usual de \mathbb{R}) cuja união contém (0,1] e tal que nenhuma subfamília finita já cubra (0,1].

Passo 2

Vou propor uma cobertura natural e simples. Defina a família
\mathcal{U}=\{(1/n,\,2)\mid n\in\mathbb{N}\}.
Cada conjunto (1/n,2) é um intervalo aberto em \mathbb{R}, logo é aberto. A família \mathcal{U} é, portanto, uma coleção de abertos.

Passo 3

Vou mostrar que \mathcal{U} realmente cobre (0,1]. Seja x\in(0,1]. Como x>0, existe um inteiro n tal que n>1/x (basta escolher n=\lfloor 1/x\rfloor+1). Para esse n vale
\frac{1}{n}<x,
portanto x\in(1/n,2). Assim todo x\in(0,1] pertence a pelo menos um conjunto de \mathcal{U}. Logo \bigcup_{n\in\mathbb{N}}(1/n,2)\supset(0,1], ou seja, \mathcal{U} é uma cobertura de (0,1].

Passo 4

Agora provarei que não existe subcobertura finita. Suponha, por contradição, que há um subcoleção finita que cobre (0,1]. Essa subcoleção usa apenas índices finitos n_{1},\dots,n_{k}. Seja
M=\max\{n_{1},\dots,n_{k}\}.
A união desses k intervalos é
\bigcup_{i=1}^{k}(1/n_i,2)=(1/M,2),
pois dentre os intervalos (1/n_i,2) o que tem a maior fronteira à esquerda é (1/M,2). Considere o ponto
x=\frac{1}{M+1}.
Temos 0<x\le 1 (logo x\in(0,1]), mas x<1/M, portanto x\notin(1/M,2). Assim x não pertence à união finita escolhida, contradizendo a hipótese de que a subcoleção finita cobrisse (0,1]. Portanto nenhuma subcobertura finita existe.

Passo 5

Resumo e intuição final: a família \{(1/n,2)\}_{n\in\mathbb{N}} é formada por intervalos abertos cujo lado esquerdo aproxima-se de 0 quando n\to\infty; para cobrir pontos muito próximos de 0 é preciso escolher índices n suficientemente grandes, então qualquer seleção finita deixa de cobrir algum ponto pequeno positivo. Isso garante que não haja subcobertura finita.

Resposta

\{(1/n,\,2)\mid n\in\mathbb{N}\}

Exercícios relacionados