Para cada um dos conjuntos abaixo, dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita:
(d) \mathbb{Q} \cap[0,1].

Passo 1

O problema pede: “Para o conjunto \mathbb{Q}\cap[0,1], dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita.”
Informações dadas e o que é pedido:
  • O conjunto a ser coberto é \mathbb{Q}\cap[0,1] (os números racionais entre 0 e 1, inclusive).
  • É preciso fornecer uma família de conjuntos abertos (no espaço subespaço \mathbb{Q}\cap[0,1]) cuja união contém \mathbb{Q}\cap[0,1] e tal que nenhuma subfamília finita dessa família ainda cubra todo \mathbb{Q}\cap[0,1].
Vou explicar rapidinho o que significa “cobertura aberta” e “subcobertura finita”, do jeitinho mais claro possível.
  • Uma família \mathcal{U} de subconjuntos de \mathbb{Q}\cap[0,1] é uma cobertura aberta de \mathbb{Q}\cap[0,1] se cada conjunto de \mathcal{U} for aberto em \mathbb{Q}\cap[0,1] (ou seja, é a interseção de um aberto de \mathbb{R} com \mathbb{Q}\cap[0,1]) e a união de todos os conjuntos de \mathcal{U} contém \mathbb{Q}\cap[0,1].
  • Uma subcobertura finita é uma coleção finita de conjuntos da cobertura que ainda cobre todo \mathbb{Q}\cap[0,1]. Queremos um exemplo em que isso não exista (ou seja, nenhuma escolha finita de conjuntos da cobertura cobre todo o conjunto).

Passo 2

Estratégia simples e construtiva (passo a passo): como \mathbb{Q}\cap[0,1] é enumerável, vou enumerar seus elementos e, para cada racional, construir um intervalo aberto em \mathbb{R} centrado nele, escolhendo o raio pequeno o suficiente para que esses intervalos fiquem disjuntos entre si e contidos em [0,1]. Depois vou intersectar esses intervalos com \mathbb{Q}\cap[0,1]. A família formada por essas interseções será uma cobertura aberta (cada conjunto é aberto no subespaço) e, por ser formada por intervalos disjuntos indexados por todos os racionais, nenhuma subfamília finita pode cobrir todos os racionais (sempre sobra o racional associado a algum índice não escolhido).

Passo 3

Enumeração: liste os elementos de \mathbb{Q}\cap[0,1] como uma sequência \{q_n\}_{n=1}^{\infty}. Isso é possível porque os racionais são numeráveis. Então cada racional de [0,1] aparece como algum q_n.

Passo 4

Construção indutiva dos intervalos (detalhada, para você reproduzir numa prova):
  • Para n=1, escolha r_1>0 tal que (q_1-r_1,q_1+r_1)\subset(0,1). Por exemplo, escolha r_1=\tfrac{1}{2}\min\{q_1,1-q_1\}.
  • Suponha que para k=1,\dots,n-1 já foram escolhidos r_k>0 de modo que os intervalos \big(q_k-r_k,q_k+r_k\big) são todos contidos em (0,1) e são mutuamente disjuntos.
  • Para q_n (que é distinto de q_1,\dots,q_{n-1}), a quantidade \min_{1\le k\le n-1}|q_n-q_k| é estritamente positiva porque é o mínimo de um conjunto finito de números positivos. Defina r_n=\frac{1}{2}\min\Big\{\min_{1\le k\le n-1}|q_n-q_k|,\;q_n,\;1-q_n\Big\}.Assim r_n>0, (q_n-r_n,q_n+r_n)\subset(0,1) e (q_n-r_n,q_n+r_n) não intersecta nenhum dos intervalos escolhidos anteriormente. Isso conclui a construção por indução.

Passo 5

Defina os conjuntos da cobertura: para cada n seja
I_n=(q_n-r_n,q_n+r_n)\cap[0,1] \qquad\text{e}\qquad U_n=I_n\cap\mathbb{Q}.
Observações:
  • Cada I_n é um aberto de \mathbb{R} intersectado com [0,1], portanto é aberto em [0,1]. Consequentemente cada U_n é I_n intersectado com \mathbb{Q}, isto é, aberto no subespaço \mathbb{Q}\cap[0,1].
  • Pelas escolhas, os intervalos I_n são mutuamente disjuntos (para m\neq n tem I_m\cap I_n=\varnothing).

Passo 6

A família \mathcal{U}=\{U_n : n\in\mathbb{N}\} cobre \mathbb{Q}\cap[0,1]: de fato, cada racional q_n pertence a U_n por construção, logo a união de todos os U_n contém todos os q_n, isto é, contém \mathbb{Q}\cap[0,1].

Passo 7

Prova de que não existe subcobertura finita (o ponto crucial):
  • Seja F\subset\mathbb{N} um conjunto finito de índices e considere a subfamília \{U_n:n\in F\}. Como F é finito, existe um índice m\in\mathbb{N} com m\notin F (basta escolher m maior do que todos os elementos de F). O racional q_m pertence a U_m, e como os intervalos I_n são disjuntos, q_m\notin U_n para todo n\in F. Portanto q_m não está coberto pela união \bigcup_{n\in F}U_n. Logo nenhuma coleção finita de conjuntos U_n consegue cobrir todo \mathbb{Q}\cap[0,1].
  • Isso mostra que \mathcal{U} não tem subcobertura finita.

Passo 8

Resumo e conclusão: a família \{U_n\}_{n=1}^\infty que construí é uma cobertura aberta de \mathbb{Q}\cap[0,1] (no subespaço) e, por construção dos intervalos disjuntos, não existe subfamília finita que cubra \mathbb{Q}\cap[0,1]. Assim forneci o exemplo pedido.

Resposta

Enumere \mathbb{Q}\cap[0,1]=\{q_n\}_{n=1}^\infty. Para cada n escolha
r_n=\frac{1}{2}\min\Big\{\min_{1\le k\le n-1}|q_n-q_k|,\;q_n,\;1-q_n\Big\}
(e para n=1 tome r_1=\tfrac{1}{2}\min\{q_1,1-q_1\}). Defina
U_n=\big(q_n-r_n,q_n+r_n\big)\cap\mathbb{Q}\cap[0,1].
A família \{U_n:n\in\mathbb{N}\} é uma cobertura aberta de \mathbb{Q}\cap[0,1] que não possui subcobertura finita.

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