Para cada um dos conjuntos abaixo, dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita:
(d)
.
(d)
Passo 1
O problema pede: “Para o conjunto
, dê um exemplo de uma cobertura aberta que não possua subcobertura finita.”
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- O conjunto a ser coberto é
(os números racionais entre e , inclusive). - É preciso fornecer uma família de conjuntos abertos (no espaço subespaço
) cuja união contém e tal que nenhuma subfamília finita dessa família ainda cubra todo .
Vou explicar rapidinho o que significa “cobertura aberta” e “subcobertura finita”, do jeitinho mais claro possível.
- Uma família
de subconjuntos de é uma cobertura aberta de se cada conjunto de for aberto em (ou seja, é a interseção de um aberto de com ) e a união de todos os conjuntos de contém . - Uma subcobertura finita é uma coleção finita de conjuntos da cobertura que ainda cobre todo
. Queremos um exemplo em que isso não exista (ou seja, nenhuma escolha finita de conjuntos da cobertura cobre todo o conjunto).
Passo 2
Estratégia simples e construtiva (passo a passo): como
é enumerável, vou enumerar seus elementos e, para cada racional, construir um intervalo aberto em
centrado nele, escolhendo o raio pequeno o suficiente para que esses intervalos fiquem disjuntos entre si e contidos em
. Depois vou intersectar esses intervalos com
. A família formada por essas interseções será uma cobertura aberta (cada conjunto é aberto no subespaço) e, por ser formada por intervalos disjuntos indexados por todos os racionais, nenhuma subfamília finita pode cobrir todos os racionais (sempre sobra o racional associado a algum índice não escolhido).
Passo 3
Enumeração: liste os elementos de
como uma sequência
. Isso é possível porque os racionais são numeráveis. Então cada racional de
aparece como algum
.
Passo 4
Construção indutiva dos intervalos (detalhada, para você reproduzir numa prova):
- Para
, escolha tal que . Por exemplo, escolha . - Suponha que para
já foram escolhidos de modo que os intervalos são todos contidos em e são mutuamente disjuntos. - Para
(que é distinto de ), a quantidade é estritamente positiva porque é o mínimo de um conjunto finito de números positivos. Defina Assim , e não intersecta nenhum dos intervalos escolhidos anteriormente. Isso conclui a construção por indução.
Passo 5
Defina os conjuntos da cobertura: para cada
seja
Observações:
- Cada
é um aberto de intersectado com , portanto é aberto em . Consequentemente cada é intersectado com , isto é, aberto no subespaço . - Pelas escolhas, os intervalos
são mutuamente disjuntos (para tem ).
Passo 6
A família
cobre
: de fato, cada racional
pertence a
por construção, logo a união de todos os
contém todos os
, isto é, contém
.
Passo 7
Prova de que não existe subcobertura finita (o ponto crucial):
- Seja
um conjunto finito de índices e considere a subfamília . Como é finito, existe um índice com (basta escolher maior do que todos os elementos de ). O racional pertence a , e como os intervalos são disjuntos, para todo . Portanto não está coberto pela união . Logo nenhuma coleção finita de conjuntos consegue cobrir todo . - Isso mostra que
não tem subcobertura finita.
Passo 8
Resumo e conclusão: a família
que construí é uma cobertura aberta de
(no subespaço) e, por construção dos intervalos disjuntos, não existe subfamília finita que cubra
. Assim forneci o exemplo pedido.
Resposta
Enumere
. Para cada
escolha
(e para
tome
). Defina
A família
é uma cobertura aberta de
que não possui subcobertura finita.