Considere a função
Determine o valor de
para que os pontos
sejam pontos críticos da função.
Classifique a natureza de cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela), justificando suas conclusões utilizando o discriminante da matriz hessiana.
Classifique a natureza de cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela), justificando suas conclusões utilizando o discriminante da matriz hessiana.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, bem certinho (peguei todos os dados do enunciado).
- A função é
, com parâmetro . - Os pontos que devem ser pontos críticos são
-
, -
, -
.
-
- O enunciado pede:
- Determinar o valor de
para que os três pontos sejam pontos críticos (ou seja, gradiente nulo nesses pontos). - Classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela, justificando com o discriminante da matriz hessiana.
- Determinar o valor de
Não vou começar a resolver ainda neste passo — só organizei o que temos e o que se pede.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever as derivadas parciais (o gradiente). Eu explico rápido o conceito: para ser ponto crítico precisamos da condição
. A derivada parcial
é a derivada de
em relação a
tratando
como constante; análogo para
.
Calculemos
e
. Partindo de
fazendo derivação parcial em
:
Cada termo:
-
. -
, mas há sinal negativo no original, logo contribui . -
, novamente com sinal negativo em dá . -
porque é tratado como constante.
Portanto
Agora
: derivando em relação a
,
Termos:
-
. -
(porque derivada de é 1), com sinal negativo fica . -
. -
.
Logo
Resumo: as equações do gradiente nulo são
Passo 3
Agora aplico essas equações nos três pontos e uso isso para encontrar
. Vou fazer ponto a ponto, substituindo as coordenadas nas duas equações do gradiente.
Ponto
.
Substituindo em :
Substituindo em
ou seja
Daí
Substituindo em
:
ou seja
As duas equações dão
, consistente.
Ponto
.
Substituindo em :
Substituindo em
que é
, verdadeira para qualquer
.
Substituindo em :
Substituindo em
também
. Portanto
é crítico para qualquer
(não impõe restrição em
).
Ponto
.
Substituindo em :
Substituindo em
ou seja
Substituindo em
:
ou seja
Também consistente com
.
Conclusão intermediária: para que
sejam pontos críticos simultaneamente precisamos de
(pois
e
forçam
;
não impõe restrição). Observação:
está permitido (o enunciado só excluía
).
Passo 4
Agora vamos classificar a natureza de cada ponto crítico com a matriz hessiana. Vou explicar a ideia e a regra que vamos usar.
A matriz hessiana de segunda derivadas é
onde
,
etc. Como as derivadas mistas são iguais por condição de suavidade,
.
A regra do discriminante (também chamada teste da segunda derivada para funções de duas variáveis) é:
- Calcular o discriminante
- Se
e no ponto crítico, então há mínimo local. - Se
e no ponto crítico, então há máximo local. - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Essa é a regra que vou aplicar nos pontos, usando
.]
Passo 5
Vou calcular as segundas derivadas gerais primeiro e depois avaliar em
e nos pontos.
Partindo de
, diferenciando:
A partir de
,
confirmando
.
Como já encontramos
, substituo
nas expressões:
Agora avalio em cada ponto e calculo
.
- Em
:
Logo
Como
e
, pelo teste temos que
é um mínimo local.
- Em
:
Logo
Aqui
, então
é um ponto de sela.
- Em
:
Logo
Como
,
é também um ponto de sela.
Pequena interpretação intuitiva: nos pontos de sela o hessiano tem sinais mistos (o determinante negativo indica autovalores com sinais opostos), enquanto no mínimo local todos os curvaturas principais são positivas.