Considere a função
f(x, y)=x^{3}-a x^{2} y-x^{2}+4 y^{2}, \quad a \in \mathbb{R} \backslash\{1
Determine o valor de a para que os pontos
P_{1}\left(1, \frac{1}{4}\right), \quad P_{2}(0,0) \quad \text { e } \quad P_{3}(2,1)
sejam pontos críticos da função.
Classifique a natureza de cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela), justificando suas conclusões utilizando o discriminante da matriz hessiana.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, bem certinho (peguei todos os dados do enunciado).
  • A função é f(x,y)=x^{3}-a x^{2} y-x^{2}+4 y^{2}, com parâmetro a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Os pontos que devem ser pontos críticos são
    • P_{1}\left(1,\tfrac{1}{4}\right),
    • P_{2}(0,0),
    • P_{3}(2,1).
  • O enunciado pede:
    1. Determinar o valor de a para que os três pontos sejam pontos críticos (ou seja, gradiente nulo nesses pontos).
    2. Classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela, justificando com o discriminante da matriz hessiana.
Não vou começar a resolver ainda neste passo — só organizei o que temos e o que se pede.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever as derivadas parciais (o gradiente). Eu explico rápido o conceito: para ser ponto crítico precisamos da condição \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0). A derivada parcial f_x é a derivada de f em relação a x tratando y como constante; análogo para f_y.
Calculemos f_x e f_y. Partindo de
f(x,y)=x^{3}-a x^{2} y-x^{2}+4 y^{2},
fazendo derivação parcial em x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a x^{2} y\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4y^{2}\bigr).
Cada termo:
  • \frac{\partial}{\partial x}(x^3)=3x^2.
  • \frac{\partial}{\partial x}(a x^{2} y)=a\cdot 2x\cdot y=2a x y, mas há sinal negativo no original, logo contribui -2a x y.
  • \frac{\partial}{\partial x}(x^2)=2x, novamente com sinal negativo em f -2x.
  • \frac{\partial}{\partial x}(4y^2)=0 porque y é tratado como constante.
Portanto
f_x(x,y)=3x^{2}-2a x y-2x.
Agora f_y: derivando em relação a y,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a x^{2} y\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4 y^{2}\bigr).
Termos:
  • \frac{\partial}{\partial y}(x^3)=0.
  • \frac{\partial}{\partial y}(a x^{2} y)=a x^{2} (porque derivada de y é 1), com sinal negativo fica -a x^{2}.
  • \frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
  • \frac{\partial}{\partial y}(4y^{2})=8y.
Logo
f_y(x,y)=-a x^{2}+8y.
Resumo: as equações do gradiente nulo são
\begin{cases} 3x^{2}-2a x y-2x=0,\\[4pt] - a x^{2}+8y=0. \end{cases}]

Passo 3

Agora aplico essas equações nos três pontos e uso isso para encontrar a. Vou fazer ponto a ponto, substituindo as coordenadas nas duas equações do gradiente.
Ponto P_{1}\left(1,\tfrac{1}{4}\right).
Substituindo em f_x=0:
3\cdot 1^{2}-2a\cdot 1\cdot \tfrac{1}{4}-2\cdot 1=0
ou seja
3- \tfrac{2a}{4}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad 1-\tfrac{a}{2}=0.
Daí
\tfrac{a}{2}=1\quad\Longrightarrow\quad a=2.
Substituindo em f_y=0:
- a\cdot 1^{2}+8\cdot \tfrac{1}{4}=0
ou seja
- a +2=0\quad\Longrightarrow\quad a=2.
As duas equações dão a=2, consistente.
Ponto P_{2}(0,0).
Substituindo em f_x:
3\cdot 0^{2}-2a\cdot 0\cdot 0-2\cdot 0 =0,
que é 0=0, verdadeira para qualquer a.
Substituindo em f_y:
- a\cdot 0^{2}+8\cdot 0 =0,
também 0=0. Portanto P_2 é crítico para qualquer a (não impõe restrição em a).
Ponto P_{3}(2,1).
Substituindo em f_x=0:
3\cdot 2^{2}-2a\cdot 2\cdot 1-2\cdot 2=0
ou seja
12-4a-4=0 \quad\Longrightarrow\quad 8-4a=0 \quad\Longrightarrow\quad a=2.
Substituindo em f_y=0:
- a\cdot 2^{2}+8\cdot 1=0
ou seja
-4a+8=0 \quad\Longrightarrow\quad a=2.
Também consistente com a=2.
Conclusão intermediária: para que P_1,P_2,P_3 sejam pontos críticos simultaneamente precisamos de a=2 (pois P_1 e P_3 forçam a=2; P_2 não impõe restrição). Observação: a=2 está permitido (o enunciado só excluía a=1).

Passo 4

Agora vamos classificar a natureza de cada ponto crítico com a matriz hessiana. Vou explicar a ideia e a regra que vamos usar.
A matriz hessiana de segunda derivadas é
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, f_{xy}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} etc. Como as derivadas mistas são iguais por condição de suavidade, f_{xy}=f_{yx}.
A regra do discriminante (também chamada teste da segunda derivada para funções de duas variáveis) é:
  • Calcular o discriminante D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto crítico, então há mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 no ponto crítico, então há máximo local.
  • Se D<0, então é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.
Essa é a regra que vou aplicar nos pontos, usando a=2.]

Passo 5

Vou calcular as segundas derivadas gerais primeiro e depois avaliar em a=2 e nos pontos.
Partindo de f_x(x,y)=3x^{2}-2a x y-2x, diferenciando:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f_x=6x-2a y-2,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f_x=-2a x.
A partir de f_y(x,y)=-a x^{2}+8y,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f_y=8,
f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f_y=-2a x,
confirmando f_{xy}=f_{yx}.
Como já encontramos a=2, substituo a=2 nas expressões:
f_{xx}(x,y)=6x-2\cdot 2\cdot y-2=6x-4y-2,
f_{xy}(x,y)=-2\cdot 2\cdot x=-4x,
f_{yy}(x,y)=8.
Agora avalio em cada ponto e calculo D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.
  1. Em P_{1}\left(1,\tfrac{1}{4}\right):
f_{xx}(1,\tfrac{1}{4})=6\cdot 1-4\cdot \tfrac{1}{4}-2=6-1-2=3.
f_{xy}(1,\tfrac{1}{4})=-4\cdot 1=-4.
f_{yy}=8.
Logo
D(P_1)=3\cdot 8 - (-4)^{2}=24-16=8.
Como D(P_1)=8>0 e f_{xx}(1,\tfrac{1}{4})=3>0, pelo teste temos que P_1 é um mínimo local.
  1. Em P_{2}(0,0):
f_{xx}(0,0)=6\cdot 0-4\cdot 0-2=-2.
f_{xy}(0,0)=-4\cdot 0=0.
f_{yy}=8.
Logo
D(P_2)=(-2)\cdot 8 - 0^{2}=-16.
Aqui D(P_2)=-16<0, então P_2 é um ponto de sela.
  1. Em P_{3}(2,1):
f_{xx}(2,1)=6\cdot 2-4\cdot 1-2=12-4-2=6.
f_{xy}(2,1)=-4\cdot 2=-8.
f_{yy}=8.
Logo
D(P_3)=6\cdot 8 - (-8)^{2}=48-64=-16.
Como D(P_3)=-16<0, P_3 é também um ponto de sela.
Pequena interpretação intuitiva: nos pontos de sela o hessiano tem sinais mistos (o determinante negativo indica autovalores com sinais opostos), enquanto no mínimo local todos os curvaturas principais são positivas.

Resposta

a=2
P_{1}\!\bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr): mínimo local
P_{2}(0,0): ponto de sela
P_{3}(2,1): ponto de sela

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