Determine o espaço nulo de cada uma das seguintes matrizes
\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar o espaço nulo da matriz
\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\[4pt] 3 & 2\end{array}\right].
Informações dadas que vamos usar:
  • A matriz tem entradas explícitas 2,1,3,2.
  • O objetivo é achar todos os vetores \displaystyle x\in\mathbb{R}^2 tais que \displaystyle A x = 0.]

Passo 2

Definição e modelo de incógnitas (explicando passo a passo):
O espaço nulo de \displaystyle A é o conjunto de todos os vetores \displaystyle x que satisfazem \displaystyle A x = 0. Vamos escrever o vetor incógnita como
\displaystyle x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix},
onde \displaystyle x_{1} e \displaystyle x_{2} são números reais que devemos encontrar. Substituindo na equação \displaystyle A x = 0 obtemos o sistema linear correspondente:
\displaystyle \begin{cases} 2x_{1}+1x_{2}=0,\\[4pt] 3x_{1}+2x_{2}=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema linear (método direto, muito usado em prova):
Da primeira equação isolamos \displaystyle x_{2}:
\displaystyle x_{2}=-2x_{1}.
Agora substituímos esse valor de \displaystyle x_{2} na segunda equação:
\displaystyle 3x_{1}+2\bigl(-2x_{1}\bigr)=3x_{1}-4x_{1}=-x_{1}=0.
Daí vem \displaystyle x_{1}=0. Substituindo \displaystyle x_{1}=0 em \displaystyle x_{2}=-2x_{1} obtemos \displaystyle x_{2}=0.
Portanto a única solução do sistema é \displaystyle x_{1}=0,\;x_{2}=0, ou seja o vetor nulo.

Passo 4

Verificação alternativa rápida (atitude de prova):
Um método curto é calcular o determinante de \displaystyle A. Se \det(A)\neq0 então \displaystyle A é invertível e o único vetor que satisfaz \displaystyle A x=0 é o vetor nulo. Calculando:
\displaystyle \det(A)=2\cdot2-3\cdot1=4-3=1\neq0.
Isso confirma que o espaço nulo é somente o subespaço trivial \{\mathbf{0}\}. Como consequência, a dimensão do espaço nulo é 0 e uma base é o conjunto vazio (ou dizer que não há vetores não-nulos na base do espaço nulo).

Resposta

\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}]

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