Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathbb{R}^{3}. Justifique sua resposta.
\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right) ; x_{1}=x_{2}=x_{3}\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto S de \mathbb{R}^3 definido por
S=\left\{\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\;;\;x_{1}=x_{2}=x_{3}\right\}.
A pergunta é: esse conjunto S é um subespaço de \mathbb{R}^{3}? Preciso responder “sim” ou “não” e justificar rigorosamente.]

Passo 2

Lembrando (passo-a-passo): um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se e só se satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\in W.
  2. Fechado sob soma: para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, tem-se \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e qualquer \mathbf{u}\in W, tem-se \lambda\mathbf{u}\in W.
Explicando devagar: a ideia é que um subespaço é um conjunto que já é “um espaço vetorial por si só”, então precisa ter o vetor nulo, somas de elementos do conjunto ficam no conjunto, e multiplicação por qualquer número real também. Se essas três propriedades valem, todas as demais propriedades de espaço vetorial virão automaticamente.

Passo 3

Verificar a presença do vetor zero em S.
O vetor zero é \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Neste vetor vale 0=0=0, logo as coordenadas são todas iguais. Portanto \mathbf{0}\in S. Conclusão: a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Tomemos vetores arbitrários em S. Como em S as três coordenadas são iguais, podemos escrever dois vetores genéricos como
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]a\\[4pt]a\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}b\\[4pt]b\\[4pt]b\end{pmatrix},
onde a,b\in\mathbb{R}. Agora calculemos a soma:
\mathbf{u}+\mathbf{v}= \begin{pmatrix}a\\[4pt]a\\[4pt]a\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}b\\[4pt]b\\[4pt]b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a+b\\[4pt]a+b\\[4pt]a+b\end{pmatrix}.
Observe que as três coordenadas de \mathbf{u}+\mathbf{v} são iguais (todas valem a+b). Logo \mathbf{u}+\mathbf{v} tem a forma exigida e pertence a S. Portanto S é fechado sob soma.]

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]a\\[4pt]a\end{pmatrix}\in S. Então
\lambda\mathbf{u}=\lambda\begin{pmatrix}a\\[4pt]a\\[4pt]a\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda a\\[4pt]\lambda a\\[4pt]\lambda a\end{pmatrix}.
As três coordenadas continuam iguais (todas \lambda a), logo \lambda\mathbf{u}\in S. Assim S é fechado por multiplicação por escalares.]

Passo 6

Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares, todas as três condições necessárias para ser subespaço estão satisfeitas. Portanto S é um subespaço de \mathbb{R}^3.
Passando uma intuição extra (útil na prova): todo vetor de S tem a forma
\begin{pmatrix}a\\[4pt]a\\[4pt]a\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Isso mostra que S=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}, ou seja, é a reta através da origem na direção \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}. Logo \{(1,1,1)^{T}\} é uma base de S e \dim S=1. Isso ajuda a reconhecer rapidamente exemplos semelhantes na prova.]

Resposta

Sim. S é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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