Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathbb{R}^{3}. Justifique sua resposta. \left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right) ; x_{3}=x_{1}\right. ou \left.x_{3}=x_{2}\right\}
A pergunta é: este conjunto S é um subespaço de \mathbb{R}^{3}?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Um vetor \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} pertence a S se e somente se satisfaz pelo menos uma das equações \;x_{3}=x_{1}\; ou \;x_{3}=x_{2}\;.
Não há outras restrições sobre x_{1},x_{2},x_{3}.]
Passo 2
Lembrete (condições para ser subespaço): Um subconjunto V\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço linear se e somente se as três condições seguintes valem:
V não é vazio (tipicamente verificamos se o vetor nulo \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} está em V).
V é fechado sob adição: se u\in V e v\in V então u+v\in V.
V é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in V e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in V.
Vou usar essas condições para testar S. Se qualquer uma falhar, S não é subespaço.
Passo 3
Dividir S em dois subconjuntos mais simples. Defina
onde novamente a terceira coordenada é igual à primeira, então \lambda u\in P_{1}.
Portanto P_{1} é subespaço. A mesma verificação vale para P_{2} trocando a condição x_{3}=x_{1} por x_{3}=x_{2}; assim P_{2} também é subespaço.
Passo 5
Observação teórica útil (sem prova completa aqui, só intuição): a união de dois subespaços P_{1}\cup P_{2} nem sempre é subespaço. Em geral, P_{1}\cup P_{2} é subespaço somente se um dos subespaços está contido no outro. Caso contrário, a união não é fechada sob soma.
Vou mostrar explicitamente que S=P_{1}\cup P_{2} não é fechado sob adição, dando um contraexemplo concreto.
Agora verifico se v+w\in S. Precisamos checar as duas condições: x_{3}=x_{1} ou x_{3}=x_{2}.
Na soma, x_{1}=1, x_{2}=1, x_{3}=2.
Temos 2\neq 1 e 2\neq 1, logo nem x_{3}=x_{1} nem x_{3}=x_{2} se cumprem.
Portanto v+w\notin S.
Passo 8
Conseqüência: encontramos v,w\in S tais que v+w\notin S. Isso mostra que Snão é fechado sob adição, falhando assim em uma das condições necessárias para ser subespaço.