Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathbb{R}^{3}. Justifique sua resposta.
\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right) ; x_{3}=x_{1}\right. ou \left.x_{3}=x_{2}\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\left\{\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\;:\;x_{3}=x_{1}\\ \text{ou}\\ x_{3}=x_{2}\right\}.
A pergunta é: este conjunto S é um subespaço de \mathbb{R}^{3}?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um vetor \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} pertence a S se e somente se satisfaz pelo menos uma das equações \;x_{3}=x_{1}\; ou \;x_{3}=x_{2}\;.
  • Não há outras restrições sobre x_{1},x_{2},x_{3}.]

Passo 2

Lembrete (condições para ser subespaço): Um subconjunto V\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço linear se e somente se as três condições seguintes valem:
  1. V não é vazio (tipicamente verificamos se o vetor nulo \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} está em V).
  2. V é fechado sob adição: se u\in V e v\in V então u+v\in V.
  3. V é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in V e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in V.
Vou usar essas condições para testar S. Se qualquer uma falhar, S não é subespaço.

Passo 3

Dividir S em dois subconjuntos mais simples. Defina
P_{1}=\left\{\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}:x_{3}=x_{1}\right\}, \qquad P_{2}=\left\{\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}:x_{3}=x_{2}\right\}.
Observação: S=P_{1}\cup P_{2}.
Agora verifico que P_{1} e P_{2} são subespaços (isso ajuda a entender a estrutura de S).

Passo 4

Verificação de que P_{1} é subespaço:
  • O vetor nulo \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} satisfaz 0=0, logo \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\in P_{1}.
  • Fechamento por adição: tome
u=\begin{pmatrix}a\b\a\end{pmatrix}\in P_{1},\qquad v=\begin{pmatrix}c\d\c\end{pmatrix}\in P_{1}.
Então
u+v=\begin{pmatrix}a+c\\\ b+d\\\ a+c\end{pmatrix},
onde claramente a terceira coordenada iguala a primeira, logo u+v\in P_{1}.
  • Fechamento por escalar: para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda u=\begin{pmatrix}\lambda a\\\ \lambda b\\\ \lambda a\end{pmatrix},
onde novamente a terceira coordenada é igual à primeira, então \lambda u\in P_{1}.
Portanto P_{1} é subespaço. A mesma verificação vale para P_{2} trocando a condição x_{3}=x_{1} por x_{3}=x_{2}; assim P_{2} também é subespaço.

Passo 5

Observação teórica útil (sem prova completa aqui, só intuição): a união de dois subespaços P_{1}\cup P_{2} nem sempre é subespaço. Em geral, P_{1}\cup P_{2} é subespaço somente se um dos subespaços está contido no outro. Caso contrário, a união não é fechada sob soma.
Vou mostrar explicitamente que S=P_{1}\cup P_{2} não é fechado sob adição, dando um contraexemplo concreto.

Passo 6

Escolha de vetores:
v=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad w=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Verifico a pertença:
  • Para v: a terceira coordenada é 1 e a primeira também é 1, portanto v\in P_{1}\subseteq S.
  • Para w: a terceira coordenada é 1 e a segunda também é 1, portanto w\in P_{2}\subseteq S.

Passo 7

Calculo da soma:
v+w=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
Agora verifico se v+w\in S. Precisamos checar as duas condições: x_{3}=x_{1} ou x_{3}=x_{2}.
  • Na soma, x_{1}=1, x_{2}=1, x_{3}=2.
  • Temos 2\neq 1 e 2\neq 1, logo nem x_{3}=x_{1} nem x_{3}=x_{2} se cumprem.
Portanto v+w\notin S.

Passo 8

Conseqüência: encontramos v,w\in S tais que v+w\notin S. Isso mostra que S não é fechado sob adição, falhando assim em uma das condições necessárias para ser subespaço.

Resposta

Não, S não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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