Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathbb{R}^{3}. Justifique sua resposta. \left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right) ; x_{3}=x_{1}+x_{2}\right\}
O que se pede: decidir se S é um subespaço de \mathbb{R}^{3} e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas:
Um vetor genérico de S tem coordenadas \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} com a restrição x_{3}=x_{1}+x_{2}.
O espaço ambiente é \mathbb{R}^{3}.]
Passo 2
Lembrete (definição útil, explicado devagar): um subconjunto V de \mathbb{R}^{3} é subespaço se satisfaz três propriedades básicas (ou equivalentemente duas mais simples):
Contém o vetor nulo \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
É fechado para soma: se u\in V e v\in V então u+v\in V.
É fechado para multiplicação por escalar: se u\in V e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in V.
Vou checar essas propriedades uma a uma para S. (Explicando: “contém o zero” garante não-vazio e compatibilidade com operações; “fechado” significa que operações lineares não saem do conjunto — é a ideia chave.)]
Passo 3
Verificar que o vetor zero pertence a S.
O vetor zero é \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}. Substituindo na condição x_{3}=x_{1}+x_{2} obtemos
0 = 0 + 0,
que é verdadeiro. Portanto \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\in S.]
Passo 4
Verificar fechamento por soma (passo a passo, sem pular etapas).
Agora verifique a condição para pertencer a S: a terceira coordenada de u+v deve ser igual à soma da primeira com a segunda. Calculemos a soma da primeira com a segunda:
(a+c)+(b+d)=a+b+c+d.
Isso coincide com a terceira coordenada que encontramos. Logo u+v satisfaz a restrição x_{3}=x_{1}+x_{2}, portanto u+v\in S. Assim S é fechado para soma.]
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar (também passo a passo).
A soma da primeira e segunda coordenadas de \lambda u é
\lambda a + \lambda b = \lambda(a+b),
que é exatamente a terceira coordenada. Portanto \lambda u satisfaz x_{3}=x_{1}+x_{2}, isto é, \lambda u\in S. Logo S é fechado para multiplicação por escalar.]
Passo 6
Conclusão a partir das verificações: S contém o vetor zero e é fechado para soma e multiplicação por escalares. Pelo critério, S é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Observação adicional (para entender melhor, sem necessidade na prova): qualquer vetor de S pode ser escrito como combinação linear dos vetores \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}, pois
Isso mostra que S=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}, um subespaço de dimensão 2. (Só um comentário para fixar a intuição: é um plano passando pela origem.)]