Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathbb{R}^{2 \times 2}. Justifique sua resposta.
O conjunto das matrizes diagonais 2 \times 2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o conjunto das matrizes diagonais 2\times2 é um subespaço de \mathbb{R}^{2\times2} e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
  • O universo é \mathbb{R}^{2\times2}, o espaço vetorial de todas as matrizes reais 2\times2.
  • O subconjunto em questão é o conjunto de todas as matrizes diagonais 2\times2; isto é, todas as matrizes cuja forma é
\begin{pmatrix} a & 0\\[4pt] 0 & b \end{pmatrix}
com a,b\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Relembrando (explicando didaticamente) a definição e o critério prático para ser subespaço:
  • Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
    1. W contém o vetor zero de V;
    2. W é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in W, tem-se u+v\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e u\in W, tem-se \alpha u\in W.
Por que esses três testes bastam? Porque a partir deles segue que W contém combinações lineares quaisquer dos seus elementos, e as outras propriedades de espaço vetorial (associatividade, existência de inverso aditivo, etc.) são herdadas de V.

Passo 3

Descrevendo genericamente um elemento do conjunto das matrizes diagonais:
se A é uma matriz diagonal 2\times2, então
A=\begin{pmatrix} a & 0 \\[4pt] 0 & b \end{pmatrix}
com a,b\in\mathbb{R}.
Verificação do vetor zero:
  • A matriz zero de \mathbb{R}^{2\times2} é
0_{2\times2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.
Observe que 0_{2\times2} é diagonal (basta tomar a=0 e b=0). Logo o conjunto contém o vetor zero.]

Passo 4

Fechamento pela adição (explicação passo a passo):
Tomemos duas matrizes diagonais quaisquer
A=\begin{pmatrix} a & 0 \\[4pt] 0 & b \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} c & 0 \\[4pt] 0 & d \end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. A soma é
A+B=\begin{pmatrix} a+c & 0+0 \\[4pt] 0+0 & b+d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a+c & 0 \\[4pt] 0 & b+d \end{pmatrix}.
O resultado tem novamente a forma diagonal (os elementos fora da diagonal permanecem 0). Portanto o conjunto é fechado sob adição.
Para fixar a ideia com um exemplo numérico simples (sem pular etapas): se
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\[4pt] 0 & 4 \end{pmatrix},
então
A+B=\begin{pmatrix} 5 & 0 \\[4pt] 0 & 3 \end{pmatrix},
que é diagonal — see? (tudo em TeX).]

Passo 5

Fechamento pela multiplicação por escalar (explicação passo a passo):
Seja \alpha\in\mathbb{R} e A=\begin{pmatrix} a & 0 \\[4pt] 0 & b \end{pmatrix} uma matriz diagonal. Então
\alpha A=\begin{pmatrix} \alpha a & \alpha\cdot 0 \\[4pt] \alpha\cdot 0 & \alpha b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha a & 0 \\[4pt] 0 & \alpha b \end{pmatrix}.
O resultado continua sendo uma matriz diagonal, logo o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Exemplo numérico: com \alpha=3 e A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & 5 \end{pmatrix},
3A=\begin{pmatrix} 6 & 0 \\[4pt] 0 & 15 \end{pmatrix},
ainda diagonal.]

Passo 6

Conclusão a partir dos passos anteriores:
  • O conjunto contém 0_{2\times2}.
  • É fechado sob adição.
  • É fechado sob multiplicação por escalar.
Portanto, pelo critério, o conjunto das matrizes diagonais 2\times2 é um subespaço de \mathbb{R}^{2\times2}.
Além disso, observação útil para a prova: qualquer matriz diagonal pode ser escrita como combinação linear
\begin{pmatrix} a & 0 \\[4pt] 0 & b \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Logo uma base natural do subespaço é
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix},
esses vetores são linearmente independentes e geram todo o conjunto, portanto \dim=2. Isso pode ser útil se a prova pedir dimensão ou base.]

Resposta

Sim. O conjunto das matrizes diagonais 2\times2 é um subespaço de \mathbb{R}^{2\times2}. Uma base é \left\{\,\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\,\right\} e \dim=2.]

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