Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do
. Justifique sua resposta.
O conjunto das matrizes diagonais
.
O conjunto das matrizes diagonais
Passo 1
O enunciado pede: determinar se o conjunto das matrizes diagonais
é um subespaço de
e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
- O universo é
, o espaço vetorial de todas as matrizes reais . - O subconjunto em questão é o conjunto de todas as matrizes diagonais
; isto é, todas as matrizes cuja forma é
com
.]
Passo 2
Relembrando (explicando didaticamente) a definição e o critério prático para ser subespaço:
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se: -
contém o vetor zero de ; -
é fechado sob adição: para quaisquer , tem-se ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer e , tem-se .
-
Por que esses três testes bastam? Porque a partir deles segue que
contém combinações lineares quaisquer dos seus elementos, e as outras propriedades de espaço vetorial (associatividade, existência de inverso aditivo, etc.) são herdadas de
.
Passo 3
Descrevendo genericamente um elemento do conjunto das matrizes diagonais:
se é uma matriz diagonal
, então
se
com
.
Verificação do vetor zero:
- A matriz zero de
é
Observe que
é diagonal (basta tomar
e
). Logo o conjunto contém o vetor zero.]
Passo 4
Fechamento pela adição (explicação passo a passo):
Tomemos duas matrizes diagonais quaisquer
Tomemos duas matrizes diagonais quaisquer
com
. A soma é
O resultado tem novamente a forma diagonal (os elementos fora da diagonal permanecem
). Portanto o conjunto é fechado sob adição.
Para fixar a ideia com um exemplo numérico simples (sem pular etapas): se
então
que é diagonal — see? (tudo em TeX).]
Passo 5
Fechamento pela multiplicação por escalar (explicação passo a passo):
Seja
e
uma matriz diagonal. Então
O resultado continua sendo uma matriz diagonal, logo o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Exemplo numérico: com
e
,
ainda diagonal.]
Passo 6
Conclusão a partir dos passos anteriores:
- O conjunto contém
. - É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Portanto, pelo critério, o conjunto das matrizes diagonais
é um subespaço de
.
Além disso, observação útil para a prova: qualquer matriz diagonal pode ser escrita como combinação linear
Logo uma base natural do subespaço é
esses vetores são linearmente independentes e geram todo o conjunto, portanto
. Isso pode ser útil se a prova pedir dimensão ou base.]
Resposta
Sim. O conjunto das matrizes diagonais
é um subespaço de
. Uma base é
e
.]