Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta.
\left\{\binom{x_{1}}{x_{2}} ;\left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right|\right\}

Passo 1

O enunciado pede para dizer se o conjunto
S=\left\{\binom{x_{1}}{x_{2}} \in \mathbb{R}^2 \mid \left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right|\right\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{2} e justificar a resposta. Informação dada: a única condição que descreve S é a igualdade entre os valores absolutos das coordenadas.

Passo 2

Relembrando o que quer dizer \left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right|: isso significa que ou x_{1}=x_{2} ou x_{1}=-x_{2}. Logo podemos reescrever S como união de duas retas:
S = L_{+} \cup L_{-},
onde
L_{+}=\left\{\binom{t}{t} \mid t\in\mathbb{R}\right\} \qquad\text{e}\qquad L_{-}=\left\{\binom{t}{-t} \mid t\in\mathbb{R}\right\}.
Cada uma dessas retas passa pela origem.

Passo 3

Definição prática de subespaço (sem jargões): um subconjunto V\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço se e somente se
  1. V contém o vetor nulo \binom{0}{0};
  2. V é fechado sob soma: se u,v\in V então u+v\in V;
  3. V é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in V e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in V.
    Mostrar que alguma dessas propriedades falha é suficiente para concluir que não é subespaço.

Passo 4

Verificação rápida da presença do vetor nulo: \binom{0}{0} satisfaz \left|0\right|=\left|0\right|, então \binom{0}{0}\in S. Portanto a condição (1) vale.

Passo 5

Fechamento por escalar: tome v=\binom{x_{1}}{x_{2}}\in S com \left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right| e \alpha\in\mathbb{R}. Então
\left|\alpha x_{1}\right|=|\alpha|\,\left|x_{1}\right|=|\alpha|\,\left|x_{2}\right|=\left|\alpha x_{2}\right|.
Logo \alpha v\in S. Assim S é fechado sob multiplicação por escalar (condição (3) valendo).

Passo 6

Fechamento por soma: para que S seja subespaço precisa ser fechado sob soma. Vou mostrar que isso falha com um contraexemplo simples. Considere
u=\binom{1}{1}\in L_{+}\subset S \qquad\text{e}\qquad v=\binom{1}{-1}\in L_{-}\subset S.
Ambos satisfazem \left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right|. Agora calcule a soma:
u+v=\binom{1}{1}+\binom{1}{-1}=\binom{2}{0}.
Verifique a condição para \binom{2}{0}:
\left|2\right|=2\quad\text{e}\quad\left|0\right|=0,
logo \left|2\right|\neq\left|0\right|. Portanto \binom{2}{0}\notin S. Assim S não é fechado sob soma (condição (2) falha).

Passo 7

Conclusão lógica: já que S falha em ser fechado sob soma, S não satisfaz todas as condições necessárias para ser subespaço de \mathbb{R}^{2}. Uma observação útil: S é a união de duas subespaços (duas retas passando pela origem), e a união de subespaços só é subespaço quando uma das partes está contida na outra — o que não acontece aqui, porque L_{+}\neq L_{-}.

Resposta

Não é subespaço de \mathbb{R}^{2}.

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