Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para dizer se o conjunto
é um subespaço de
e justificar a resposta. Informação dada: a única condição que descreve
é a igualdade entre os valores absolutos das coordenadas.
Passo 2
Relembrando o que quer dizer
: isso significa que ou
ou
. Logo podemos reescrever
como união de duas retas:
onde
Cada uma dessas retas passa pela origem.
Passo 3
Definição prática de subespaço (sem jargões): um subconjunto
é subespaço se e somente se
-
contém o vetor nulo ; -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Mostrar que alguma dessas propriedades falha é suficiente para concluir que não é subespaço.
Passo 4
Verificação rápida da presença do vetor nulo:
satisfaz
, então
. Portanto a condição (1) vale.
Passo 5
Fechamento por escalar: tome
com
e
. Então
Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar (condição (3) valendo).
Passo 6
Fechamento por soma: para que
seja subespaço precisa ser fechado sob soma. Vou mostrar que isso falha com um contraexemplo simples. Considere
Ambos satisfazem
. Agora calcule a soma:
Verifique a condição para
:
logo
. Portanto
. Assim
não é fechado sob soma (condição (2) falha).
Passo 7
Conclusão lógica: já que
falha em ser fechado sob soma,
não satisfaz todas as condições necessárias para ser subespaço de
. Uma observação útil:
é a união de duas subespaços (duas retas passando pela origem), e a união de subespaços só é subespaço quando uma das partes está contida na outra — o que não acontece aqui, porque
.
Resposta
Não é subespaço de
.