Para cada curva abaixo, encontre a curvatura k e o raio da curvatura \rho no ponto t=t_{1}. R(t)=2 t i+\left(t^{2}-1\right) j; t_{1}=1
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a curvatura k e o raio da curvatura \rho da curva dada no instante t=t_{1}.
Informações fornecidas: R(t)=2t\,i+\left(t^{2}-1\right)j e t_{1}=1.
Passo 2
O que é curvatura e qual fórmula usar (explicação didática).
Intuitivamente, a curvatura mede quão “curva” é a trajetória num ponto: maior curvatura = curva mais acentuada; menor curvatura = quase reta. O raio da curvatura \rho é o raio do círculo que melhor aproxima a curva naquele ponto (o chamado círculo osculador). Eles estão relacionados por \rho=\dfrac{1}{k}.
Para uma curva plana parametrizada por R(t)=x(t)\,i+y(t)\,j a fórmula prática que vamos usar é
Calcular o denominador \big(x'(1)^{2}+y'(1)^{2}\big)^{3/2}, interpretando como velocidade ao cubo.
Primeiro a velocidade \|R'(1)\|=\sqrt{x'(1)^{2}+y'(1)^{2}}: