Para cada curva abaixo, encontre a curvatura k e o raio da curvatura \rho no ponto t=t_{1}.
R(t)=2 t i+\left(t^{2}-1\right) j; t_{1}=1

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a curvatura k e o raio da curvatura \rho da curva dada no instante t=t_{1}.
Informações fornecidas:
R(t)=2t\,i+\left(t^{2}-1\right)j e t_{1}=1.

Passo 2

O que é curvatura e qual fórmula usar (explicação didática).
Intuitivamente, a curvatura mede quão “curva” é a trajetória num ponto: maior curvatura = curva mais acentuada; menor curvatura = quase reta. O raio da curvatura \rho é o raio do círculo que melhor aproxima a curva naquele ponto (o chamado círculo osculador). Eles estão relacionados por \rho=\dfrac{1}{k}.
Para uma curva plana parametrizada por R(t)=x(t)\,i+y(t)\,j a fórmula prática que vamos usar é
k(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\big(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\big)^{3/2}}.
Aqui:
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas de x e y em relação a t (velocidade nas componentes),
  • x''(t) e y''(t) são as segundas derivadas (aceleração nas componentes),
  • o numerador x'y''-y'x'' é, na prática, a componente z do produto vetorial R'(t)\times R''(t) (em curvas planas apenas essa componente interessa),
  • o denominador \big(x'^{2}+y'^{2}\big)^{3/2} é a velocidade ao cubo, já que \|R'(t)\|=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo ao nosso R(t).

Passo 3

Identificar x(t) e y(t) e calcular primeiras e segundas derivadas simbolicamente.
Temos
x(t)=2t,\qquad y(t)=t^{2}-1.
Derivando uma vez:
x'(t)=\frac{d}{dt}(2t)=2,\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2}-1)=2t.
Derivando de novo:
x''(t)=\frac{d}{dt}(2)=0,\qquad y''(t)=\frac{d}{dt}(2t)=2.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto t_{1}=1.
Substituindo t=1:
x'(1)=2,\quad x''(1)=0,\quad y'(1)=2\cdot 1=2,\quad y''(1)=2.

Passo 5

Calcular o numerador da fórmula da curvatura no ponto t=1, isto é |x' y''-y' x''|.
Usando os valores:
x'(1)\,y''(1)-y'(1)\,x''(1)=2\cdot 2 - 2\cdot 0 = 4.
Tomando o valor absoluto (já positivo):
\big|x'(1)\,y''(1)-y'(1)\,x''(1)\big|=4.

Passo 6

Calcular o denominador \big(x'(1)^{2}+y'(1)^{2}\big)^{3/2}, interpretando como velocidade ao cubo.
Primeiro a velocidade \|R'(1)\|=\sqrt{x'(1)^{2}+y'(1)^{2}}:
\|R'(1)\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Agora a velocidade ao cubo:
\big(\|R'(1)\|\big)^{3}=(2\sqrt{2})^{3}=8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}.
(ou, escrevendo diretamente, \big(8\big)^{3/2}=8^{3/2}=16\sqrt{2}.)

Passo 7

Calcular a curvatura k(1) usando numerador e denominador encontrados.
Aplicando a fórmula:
k(1)=\frac{4}{16\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}.
Podemos racionalizar o denominador para uma forma alternativa:
k(1)=\frac{\sqrt{2}}{8}.
Ambas representam o mesmo número; a forma \dfrac{\sqrt{2}}{8} às vezes fica mais bonita.

Passo 8

Calcular o raio da curvatura \rho(1) como o inverso de k(1).
\rho(1)=\frac{1}{k(1)}=\frac{1}{1/(4\sqrt{2})}=4\sqrt{2}.

Passo 9

Resumo e dica prática para prova.
  • Passos que sempre faço: achar x,y; calcular x',y',x'',y''; avaliar em t_1; calcular numerador x'y''-y'x''; calcular \|R'\| e elevar ao cubo; dividir.
  • Observação: como x'(t) aqui é constante e x''(t)=0, o cálculo fica bem simples — às vezes reconhecer esses detalhes acelera a resolução na prova.

Resposta

k(1)=\dfrac{\sqrt{2}}{8}
\rho(1)=4\sqrt{2}

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