Nos itens abaixo, encontre para a curva dada,
e
em
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede para encontrar
e
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
Perguntas explícitas:
- Calcular o vetor tangente unitário
e avaliá‑lo em . - Calcular o vetor normal principal unitário
e avaliá‑lo em .
Passo 2
Definições e primeiros cálculos (passo a passo, sem pular):
- O vetor velocidade é
.
Calculemos as derivadas:
Logo
- A rapidez (norma da velocidade) é
.
Como, fatoramos :
Expliquei o fatoramento porque simplifica a expressão do vetor tangente unitário.
Passo 3
Vetor tangente unitário
:
- Definição:
. Aqui é velocidade e é a rapidez que acabamos de calcular.
Substituindo,
Simplificando o fator
(válido pois
):
Interpretação: primeiro componente é direção em
, segunda em
; o denominador normaliza para comprimento 1.
Passo 4
Agora precisamos do vetor normal principal unitário
.
- Definição:
. Ou seja, derivamos o vetor tangente unitário e normalizamos.
Calculemos
componente a componente. Usaremos a regra da cadeia e do quociente já embutidas na derivação de potências:
Primeira componente de :
.
Primeira componente de
Segunda componente de
:
.
Aplicando produto:
Aplicando produto:
Colocando em denominador comum
:
Portanto
Passo 5
Norma de
e expressão final de
:
- Calculemos
. Como os componentes têm o mesmo denominador, é conveniente:
Simplificando a fração:
(Usamos
para tirar a raiz positivamente.)
- Agora normalizamos
:
Multiplicando pelo inverso:
Cancelando uma potência de
:
Observe que
tem norma 1 e é ortogonal a
(cheque rápido: produto escalar
).
Passo 6
Avaliação em
:
- Calcule
em : .
Substituindo nas fórmulas:
Esses são vetores unitários; o segundo aponta “para cima e à esquerda” enquanto o tangente aponta na direção
para cima à direita — faz sentido para a curva dada em
. Força extra: ambos têm norma 1 e são ortogonais.