Nos itens abaixo, encontre para a curva dada, T(t) e N(t) em t=t_{1}.
x=\frac{1}{2} t^{2}, y=\frac{1}{3} t^{3} ; t>0 ; t_{1}=1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=\tfrac{1}{2}t^{2},\qquad y=\tfrac{1}{3}t^{3},\qquad t>0,
e pede para encontrar T(t) e N(t) no ponto t=t_{1}=1.
Informações relevantes fornecidas:
\text{posição: }\; \mathbf{r}(t)=\bigl(\tfrac{1}{2}t^{2},\,\tfrac{1}{3}t^{3}\bigr),\qquad t_{1}=1.çã
Perguntas explícitas:
  • Calcular o vetor tangente unitário T(t) e avaliá‑lo em t=1.
  • Calcular o vetor normal principal unitário N(t) e avaliá‑lo em t=1.

Passo 2

Definições e primeiros cálculos (passo a passo, sem pular):
  • O vetor velocidade é \mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).
    Calculemos as derivadas:
x'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}t^{2}\right)=t, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{3}t^{3}\right)=t^{2}.
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\mathbf{r}'(t)=\bigl(t,\;t^{2}\bigr).
  • A rapidez (norma da velocidade) é \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(t)^{2}+(t^{2})^{2}}=\sqrt{t^{2}+t^{4}}.
    Como t>0, fatoramos t^{2}:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{t^{2}(1+t^{2})}=t\sqrt{1+t^{2}}.
Expliquei o fatoramento porque simplifica a expressão do vetor tangente unitário.

Passo 3

Vetor tangente unitário T(t):
  • Definição: T(t)=\dfrac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}. Aqui \mathbf{r}'(t) é velocidade e \|\mathbf{r}'(t)\| é a rapidez que acabamos de calcular.
    Substituindo,
T(t)=\frac{(t,\;t^{2})}{t\sqrt{1+t^{2}}}.
Simplificando o fator t (válido pois t>0):
T(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},\;\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\right).
Interpretação: primeiro componente é direção em x, segunda em y; o denominador normaliza para comprimento 1.

Passo 4

Agora precisamos do vetor normal principal unitário N(t).
  • Definição: N(t)=\dfrac{T'(t)}{\|T'(t)\|}. Ou seja, derivamos o vetor tangente unitário e normalizamos.
Calculemos T'(t) componente a componente. Usaremos a regra da cadeia e do quociente já embutidas na derivação de potências:
Primeira componente de T(t): \dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}=(1+t^{2})^{-1/2}.
\frac{d}{dt}\!\left((1+t^{2})^{-1/2}\right)=-\tfrac{1}{2}(1+t^{2})^{-3/2}\cdot 2t=-\frac{t}{(1+t^{2})^{3/2}}.
Segunda componente de T(t): \dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}=t(1+t^{2})^{-1/2}.
Aplicando produto:
\frac{d}{dt}\!\left(t(1+t^{2})^{-1/2}\right)=(1+t^{2})^{-1/2}+t\left(-\tfrac{1}{2}(1+t^{2})^{-3/2}\cdot 2t\right) =(1+t^{2})^{-1/2}-\frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{3/2}}.
Colocando em denominador comum (1+t^{2})^{3/2}:
(1+t^{2})^{-1/2}-\frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{3/2}}=\frac{1+t^{2}-t^{2}}{(1+t^{2})^{3/2}}=\frac{1}{(1+t^{2})^{3/2}}.
Portanto
T'(t)=\left(-\frac{t}{(1+t^{2})^{3/2}},\;\frac{1}{(1+t^{2})^{3/2}}\right).

Passo 5

Norma de T'(t) e expressão final de N(t):
  • Calculemos \|T'(t)\|. Como os componentes têm o mesmo denominador, é conveniente:
\|T'(t)\|=\sqrt{\left(-\frac{t}{(1+t^{2})^{3/2}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{(1+t^{2})^{3/2}}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{t^{2}+1}{(1+t^{2})^{3}}}.
Simplificando a fração:
\|T'(t)\|=\sqrt{\frac{1+t^{2}}{(1+t^{2})^{3}}}=\sqrt{\frac{1}{(1+t^{2})^{2}}}=\frac{1}{1+t^{2}}.
(Usamos 1+t^{2}>0 para tirar a raiz positivamente.)
  • Agora normalizamos T'(t):
N(t)=\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|} =\left(-\frac{t}{(1+t^{2})^{3/2}},\;\frac{1}{(1+t^{2})^{3/2}}\right)\bigg/ \frac{1}{1+t^{2}}.
Multiplicando pelo inverso:
N(t)=\left(-\frac{t}{(1+t^{2)^{3/2}}}\cdot(1+t^{2}),\;\frac{1}{(1+t^{2})^{3/2}}\cdot(1+t^{2})\right).
Cancelando uma potência de (1+t^{2}):
N(t)=\left(-\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}},\;\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\right).
Observe que N(t) tem norma 1 e é ortogonal a T(t) (cheque rápido: produto escalar T\cdot N=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\left(-\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\right)+\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\right)=0).

Passo 6

Avaliação em t_{1}=1:
  • Calcule \sqrt{1+t^{2}} em t=1: \sqrt{1+1^{2}}=\sqrt{2}.
    Substituindo nas fórmulas:
T(1)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right), \qquad N(1)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Esses são vetores unitários; o segundo aponta “para cima e à esquerda” enquanto o tangente aponta na direção 45^\circ para cima à direita — faz sentido para a curva dada em t>0. Força extra: ambos têm norma 1 e são ortogonais.

Resposta

T(1)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)
N(1)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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