Se a equação vetorial da curva C é
, encontre o coseno da medida do ângulo entre os vetores
e
. Lembre que: se
é o ângulo entre os vetores
e
, então:
Passo 1
O enunciado fornece a equação vetorial da curva
:
O que o exercício pede: encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Primeiro vamos obter o vetor
substituindo
em
. Calcule componente a componente:
Agora simplificamos:
Passo 3
Precisamos do vetor tangente unitário
. Para isso primeiro calculamos a derivada
(que é o vetor velocidade). Derivando cada componente:
Expliquei: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 4
Agora avaliamos a derivada em
:
Passo 5
O vetor tangente unitário
é dado por
Então precisamos da norma
. Calcule:
Passo 6
Dividindo
pela sua norma obtemos
:
Observação didática:
é um vetor unitário, ou seja, sua norma vale
. Podemos verificar rapidamente que
.
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores
e
:
Aqui
e
. Primeiro calculamos o produto interno:
Passo 8
Calculamos a norma de
:
Passo 9
Como
é unitário (
), a fórmula do cosseno fica:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Se quiser uma aproximação numérica,
.