Se a equação vetorial da curva C é R(t)=3 t^{2} i+\left(t^{3}-3 t\right) j, encontre o coseno da medida do ângulo entre os vetores R(2) e T(2). Lembre que: se \alpha é o ângulo entre os vetores u e v, então: \cos \alpha=\frac{\langle u, v\rangle}{|u||v|}

Passo 1

O enunciado fornece a equação vetorial da curva C:
R(t)=3t^{2}\,\mathbf{i}+\bigl(t^{3}-3t\bigr)\,\mathbf{j}.
O que o exercício pede: encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores R(2) e T(2).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{o vetor posição }R(t)=\bigl(3t^{2},\,t^{3}-3t\bigr).çã
\text{o vetor }T(2)\text{ aparece no enunciado (usualmente }T(t)\text{ é o vetor tangente unitário).}éá

Passo 2

Primeiro vamos obter o vetor R(2) substituindo t=2 em R(t). Calcule componente a componente:
R(2)=\bigl(3\cdot 2^{2},\;2^{3}-3\cdot 2\bigr).
Agora simplificamos:
R(2)=\bigl(3\cdot 4,\;8-6\bigr)=\bigl(12,\;2\bigr).

Passo 3

Precisamos do vetor tangente unitário T(2). Para isso primeiro calculamos a derivada R'(t) (que é o vetor velocidade). Derivando cada componente:
R'(t)=\bigl(6t,\;3t^{2}-3\bigr).
Expliquei: derivada de 3t^{2} é 6t; derivada de t^{3}-3t é 3t^{2}-3.

Passo 4

Agora avaliamos a derivada em t=2:
R'(2)=\bigl(6\cdot 2,\;3\cdot 2^{2}-3\bigr)=\bigl(12,\;12-3\bigr)=\bigl(12,\;9\bigr).

Passo 5

O vetor tangente unitário T(2) é dado por
T(2)=\frac{R'(2)}{\lVert R'(2)\rVert}.
Então precisamos da norma \lVert R'(2)\rVert. Calcule:
\lVert R'(2)\rVert=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15.

Passo 6

Dividindo R'(2) pela sua norma obtemos T(2):
T(2)=\frac{1}{15}\bigl(12,\,9\bigr)=\bigl(\tfrac{12}{15},\,\tfrac{9}{15}\bigr)=\bigl(\tfrac{4}{5},\,\tfrac{3}{5}\bigr).
Observação didática: T(2) é um vetor unitário, ou seja, sua norma vale 1. Podemos verificar rapidamente que \sqrt{(\tfrac{4}{5})^{2}+(\tfrac{3}{5})^{2}}=1.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores u e v:
\cos\alpha=\frac{\langle u,v\rangle}{\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert}.
Aqui u=R(2)=\bigl(12,2\bigr) e v=T(2)=\bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\bigr). Primeiro calculamos o produto interno:
\langle R(2),T(2)\rangle=12\cdot \tfrac{4}{5}+2\cdot \tfrac{3}{5}=\tfrac{48+6}{5}=\tfrac{54}{5}.

Passo 8

Calculamos a norma de R(2):
\lVert R(2)\rVert=\sqrt{12^{2}+2^{2}}=\sqrt{144+4}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}.

Passo 9

Como T(2) é unitário ( \lVert T(2)\rVert=1), a fórmula do cosseno fica:
\cos\alpha=\frac{\langle R(2),T(2)\rangle}{\lVert R(2)\rVert\cdot 1}=\frac{\tfrac{54}{5}}{2\sqrt{37}}=\frac{54}{5\cdot 2\sqrt{37}}=\frac{27}{5\sqrt{37}}.
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
\cos\alpha=\frac{27\sqrt{37}}{185}.
Se quiser uma aproximação numérica, \cos\alpha\approx 0{,}8879.

Resposta

\dfrac{27\sqrt{37}}{185}

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