Para cada curva abaixo, encontre a curvatura k e o raio da curvatura \rho no ponto t=t_{1}.
R(t)=3 t^{2} i+\left(t^{3}-3 t\right) j; t_{1}=1

Passo 1

O enunciado pede: para a curva parametrizada \;R(t)=3 t^{2}\,\mathbf{i}+\bigl(t^{3}-3t\bigr)\,\mathbf{j}\; encontrar a curvatura \kappa e o raio da curvatura \rho no ponto t=t_{1}=1.
Informações dadas:
x(t)=3t^{2},\qquad y(t)=t^{3}-3t,\qquad t_{1}=1.

Passo 2

Vamos aprender a fórmula que vamos usar. Para uma curva plana parametrizada por x(t) e y(t), a curvatura \kappa(t) mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto; uma fórmula prática é
\kappa(t)=\frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Aqui:
  • x'(t) e y'(t) são as velocidades nas direções x e y;
  • x''(t) e y''(t) são as acelerações nas direções x e y;
  • o numerador é a magnitude da “determinante” formado por velocidade e aceleração (equivalente à componente normal da aceleração);
  • o denominador normaliza por (\text{velocidade})^{3} para tornar \kappa independente da velocidade de parametrização.
O raio da curvatura \rho(t) é simplesmente o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.

Passo 3

Calculemos as derivadas de x(t) e y(t) passo a passo.
Para x(t)=3t^{2}:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=6t,
x''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(6t\bigr)=6.
Para y(t)=t^{3}-3t:
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}-3t\bigr)=3t^{2}-3,
y''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-3\bigr)=6t.

Passo 4

Agora o numerador da fórmula da curvatura:
x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)=(6t)(6t)-(3t^{2}-3)(6).
Calcule cada termo:
(6t)(6t)=36t^{2},
(3t^{2}-3)(6)=18t^{2}-18.
Subtraindo:
x'y''-y'x''=36t^{2}-(18t^{2}-18)=36t^{2}-18t^{2}+18=18t^{2}+18=18\bigl(t^{2}+1\bigr).
Como isto é positivo para todo t, o valor absoluto é o mesmo:
\bigl|x'y''-y'x''\bigr|=18\bigl(t^{2}+1\bigr).

Passo 5

Calculemos o termo dentro do denominador:
x'(t)^{2}+y'(t)^{2}=(6t)^{2}+(3t^{2}-3)^{2}=36t^{2}+9(t^{2}-1)^{2}.
Expandindo (t^{2}-1)^{2}:
(t^{2}-1)^{2}=t^{4}-2t^{2}+1,
então
9(t^{2}-1)^{2}=9t^{4}-18t^{2}+9.
Somando com 36t^{2}:
36t^{2}+9t^{4}-18t^{2}+9=9t^{4}+18t^{2}+9=9\bigl(t^{4}+2t^{2}+1\bigr)=9\bigl(t^{2}+1\bigr)^{2}.
Agora elevamos à potência 3/2 para o denominador:
\bigl(x'^{2}+y'^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(9(t^{2}+1)^{2}\bigr)^{3/2}=9^{3/2}(t^{2}+1)^{3}=27(t^{2}+1)^{3},
pois 9^{3/2}=(3^{2})^{3/2}=3^{3}=27.

Passo 6

Monte a curvatura \kappa(t):
\kappa(t)=\frac{18(t^{2}+1)}{27(t^{2}+1)^{3}}=\frac{18}{27}\cdot\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}=\frac{2}{3(t^{2}+1)^{2}}.
Agora avalie em t=1. Primeiro calcule t^{2}+1 em t=1:
t^{2}+1=1^{2}+1=2.
Logo
\kappa(1)=\frac{2}{3(2)^{2}}=\frac{2}{3\cdot 4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.

Passo 7

O raio da curvatura é o inverso:
\rho(1)=\frac{1}{\kappa(1)}=\frac{1}{1/6}=6.

Resposta

\kappa(1)=\dfrac{1}{6}
\rho(1)=6

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