Para cada curva gamma a seguir, calcule gamma^prime(t) e d yd x.
gamma(t)=(2 t^3+3 t, 4 t-5 t^2)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
gamma(t) = l(x(t),,y(t)r) com x(t)=2t^3+3t, y(t)=4t-5t^2
e pede duas coisas:
  1. A derivada vetorial gamma'(t)=(x'(t),,y'(t)).
  2. A inclinação da curva em cada ponto, dada por
dydx = dydtdxdt,
sempre que dxdtneq0.

Passo 2

Para obter gamma'(t) aplicamos a regra do poder a cada componente:
x'(t)=ddt(2t^3+3t) =6t^2+3, y'(t)=ddt(4t-5t^2) =4-10t
Logo,
gamma'(t)=l(6t^2+3,;4-10tr)

Passo 3

Para achar tfracdydx usamos
dydx =y'(t)x'(t) =4-10t6t^2+3
Podemos também simplificar fatorando 3 no denominador:
dydx =4-10t3(2t^2+1)

Resposta

gamma'(t)=l(6t^2+3,;4-10tr)
dydx=4-10t6t^2+3=4-10t3(2t^2+1)

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