Em todas as questões apresentadas, registre seus cálculos passo-a-passo.
Suponhamos que uma espécie animal tem seu crescimento populacional numa determinada região modelado pelo equação fracd Nd t=3 alpha N(t), onde t se mede em meses. Um grupo de predadores se estabelece nesta região e começa à atacar esta espécie, matando os animais numa taxa de -alpha N^2(t) e além disso, mudanças climáticas e ecológicas fazem com que os animais abandonem seu habitat numa taxa de -2 alpha animais por mês. A partir destas informações, a equação diferencial do modelo é reescrita da seguinte maneira: fracd Nd t=alpha(3 N-N^2-2), ou ainda,
d Nd t=-alpha(N^2-3 N+2)
Supondo que não há imigração de animais desta espécie para esta região, determine em quantos meses a população se reduzirá a metade da população inicial que é N(0)=1000 animais, usando alpha=0,002.
Para resolução use Separação de Variáveis, faça a fatoração do polinômio na variável N em função de suas raízes e utilize Frações Parciais.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial do modelo populacional
dNdt=-alphal(N^2-3N+2r),
com alpha=0,002 e condição inicial N(0)=1000. Queremos achar t tal que N(t)=tfrac10002=500. O método é Separação de Variáveis, fatoração do polinômio e Frações Parciais.

Passo 2

Primeiro separamos variáveis:
dNdt=-alpha,(N^2-3N+2) Longrightarrow dN-(N^2-3N+2)=alpha,dt
Fatorando o polinômio na variável N:
N^2-3N+2=(N-1)(N-2)
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-dN(N-1)(N-2)=alpha,dt

Passo 3

Fazendo Frações Parciais em 1(N-1)(N-2):
1(N-1)(N-2) =AN-1+BN-2 ;Longrightarrow; A=-1,;B=1,
portanto
-1(N-1)(N-2) =1N-1-1N-2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integrall(1N-1-1N-2r)dN =integralalpha,dt ;Longrightarrow; lnl|N-1N-2r|=alpha t + C

Passo 5

Usando t=0 e N(0)=1000:
lnl|1000-11000-2r|=C ;Longrightarrow; C=ln!l(tfrac999998r)
Assim a solução implícita é
lnl|tfracN-1N-2r| =alpha t + ln!l(tfrac999998r)

Passo 6

Para N(t)=500:
ln!l(tfrac499498r) =alpha t + ln!l(tfrac999998r) ;Longrightarrow; alpha t =ln!l(tfrac499/498999/998r) =ln!l(tfrac499cdot998498cdot999r)
Calculamos numericamente:
ln!l(tfrac499cdot998498cdot999r)approx0,0010045,
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tapprox0,00100450,002=0,50225 meses

Resposta

A população chegará a 500 indivíduos em aproximadamente 0,502 meses (cerca de 15 dias).

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