QUESTÃO 01 (6 pontos): Calcule o limite a seguir, e diga quais as informações geométricas podem ser obtidas a partir do seu resultado:
Passo 1
O enunciado pede
que é um limite no infinito envolvendo uma função exponencial no numerador e um polinômio de grau 3 no denominador. Vamos usar a regra de L’Hôpital e o fato de que a exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio.
Passo 2
Observamos que, quando
, tanto
quanto
. Isso nos permite aplicar a regra de L’Hôpital, isto é, derivar numerador e denominador separadamente:
Passo 3
Derivando, obtemos
Logo,
Passo 4
Ainda assim,
cresce muito mais rápido que
. Portanto
Passo 5
Do resultado
segue que a curva
não se aproxima de nenhuma reta horizontal quando
; em vez disso, dispara para cima sem limite. Geometricamente, isso mostra que o comportamento assintótico é dominado pelo termo exponencial e que não há assíntota horizontal na direção positiva, pois
.
Resposta
Geometricamente, o gráfico de