QUESTÃO 01 (6 pontos): Calcule o limite a seguir, e diga quais as informações geométricas podem ser obtidas a partir do seu resultado:
lim x infty e^x-1x^3+4 x
square

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftye^x-1x^3+4x,
que é um limite no infinito envolvendo uma função exponencial no numerador e um polinômio de grau 3 no denominador. Vamos usar a regra de L’Hôpital e o fato de que a exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio.

Passo 2

Observamos que, quando xtoinfty, tanto e^x-1toinfty quanto x^3+4xtoinfty. Isso nos permite aplicar a regra de L’Hôpital, isto é, derivar numerador e denominador separadamente:

Passo 3

Derivando, obtemos
ddxl(e^x-1r)=e^x, ddxl(x^3+4xr)=3x^2+4
Logo,
limxtoinftye^x-1x^3+4x =limxtoinftye^x3x^2+4

Passo 4

Ainda assim, e^x cresce muito mais rápido que 3x^2+4. Portanto
limxtoinftye^x3x^2+4=+infty

Passo 5

Do resultado +infty segue que a curva
y=e^x-1x^3+4x
não se aproxima de nenhuma reta horizontal quando xtoinfty; em vez disso, dispara para cima sem limite. Geometricamente, isso mostra que o comportamento assintótico é dominado pelo termo exponencial e que não há assíntota horizontal na direção positiva, pois yto+infty.

Resposta

+infty.
Geometricamente, o gráfico de tfrace^x-1x^3+4x cresce sem limite para xtoinfty e não possui assíntota horizontal nesse sentido.

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