Para cada curva gamma a seguir, calcule gamma^prime(t) e d yd x.
gamma(t)=(t+sen(t^2+2), tg(t^2+2))

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica gamma(t)=(x(t),y(t)) com
x(t)=t+sinl(t^2+2r)
y(t)=tanl(t^2+2r)
e pede o vetor derivada gamma'(t) e a expressão de dfracdydx. Vamos usar derivadas de funções compostas e regra da cadeia.

Passo 2

Para achar x'(t), note que x(t)=t+sin(u) com u=t^2+2. A derivada de t é 1. Pela regra da cadeia,
a derivada de sin(u) é cos(u)cdot u', com u'=2t. Logo,
x'(t)=1+2tcosl(t^2+2r)

Passo 3

Para achar y'(t), usamos y(t)=tan(u) com u=t^2+2. A derivada de tan(u) é sec^2(u)cdot u', portanto,
y'(t)=2tsec^2l(t^2+2r)

Passo 4

A derivada dfracdydx em função de t é o quociente de y'(t) por x'(t), logo,
dydx =y'(t)x'(t) =2tsec^2l(t^2+2r)1+2tcosl(t^2+2r)

Resposta

gamma'(t)=l(1+2tcos(t^2+2),;2tsec^2(t^2+2)r)
dydx=2tsec^2(t^2+2)1+2tcos(t^2+2)

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