QUESTÃO 03 (7 pontos): Encontre dois inteiros positivos tais que a soma do primeiro número com quatro vezes o segundo número seja 8000, e o produto dos números seja o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede dois inteiros positivos x e y tais que
x + 4y = 8000
e o produto P = xy seja máximo. O conteúdo envolvido é otimização de uma função quadrática sujeita a uma restrição linear; vamos usar substituição e análise de vértice de parábola.

Passo 2

Da restrição x+4y=8000 isolamos
x = 8000 - 4y
e substituímos no produto para obter uma função de y só:
P(y) = y,(8000 - 4y) = 8000y - 4y^2

Passo 3

A função ,P(y)=8000y-4y^2 é uma parábola côncava para baixo (coeficiente de y^2 negativo). O vértice, que dá o máximo no contínuo, está em
y = -b2a = -80002cdot(-4) = 1000
Nesse valor, x=8000-4cdot1000=0, mas precisamos de x>0. Logo procuramos os inteiros mais próximos de 1000.

Passo 4

Como y deve ser inteiro e ainda garantir x>0, temos 1 <= y <= 1999. Os candidatos mais próximos de 1000 são y=999 e y=1001. Calculamos em cada caso:
Para y=999:
x = 8000 - 4cdot999 = 4004, P = 999 times 4004 = 3,999,996
Para y=1001:
x = 8000 - 4cdot1001 = 3996, P = 1001 times 3996 = 3,999,996

Passo 5

Ambos os pares (4004,999) e (3996,1001) são positivos, satisfazem x+4y=8000 e produzem o mesmo produto máximo.

Resposta

Os dois inteiros positivos que maximizam o produto são
(x,y)=(4004,999) ou (x,y)=(3996,1001),
ambos com produto máximo 3,999,996.

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