QUESTÃO 03 (7 pontos): Encontre dois inteiros positivos tais que a soma do primeiro número com quatro vezes o segundo número seja 8000, e o produto dos números seja o maior possível.
Passo 1
O enunciado pede dois inteiros positivos
e
tais que
e o produto
seja máximo. O conteúdo envolvido é otimização de uma função quadrática sujeita a uma restrição linear; vamos usar substituição e análise de vértice de parábola.
Passo 2
Da restrição
isolamos
e substituímos no produto para obter uma função de
só:
Passo 3
A função
é uma parábola côncava para baixo (coeficiente de
negativo). O vértice, que dá o máximo no contínuo, está em
Nesse valor,
, mas precisamos de
. Logo procuramos os inteiros mais próximos de
.
Passo 4
Como
deve ser inteiro e ainda garantir
, temos
. Os candidatos mais próximos de
são
e
. Calculamos em cada caso:
Para
:
Para
:
Passo 5
Ambos os pares
e
são positivos, satisfazem
e produzem o mesmo produto máximo.
Resposta
Os dois inteiros positivos que maximizam o produto são
ambos com produto máximo
.