Em todas as questões apresentadas, registre seus cálculos passo-a-passo.
Calcule (passo-a-passo) a solução geral da EDO DE BERNOULLI:
dydx+4x y=1x^2 y^7
Importante: Calcule a solução da EDO utilizando a mudança de variável t=y^1-n que transforma a equação: fracd yd x+A y=B y^n na equação edo linear: fracd td x+(1-n) A t=(1-n) B.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de Bernoulli
dydx + 4x,y = 1x^2,y^7
usando a mudança de variável
t = y^,1-n com n=7,
que transforma
dydx + A(x),y = B(x),y^n
em uma EDO linear para t.

Passo 2

Identificamos na equação original
A(x)=4x, B(x)=1x^2, n=7
Definimos
t = y^,1-7 = y^-6
Para achar dfracdtdx, usamos a derivada de y^-6:
dtdx = -6,y^-7,dydx
Substituímos dfracdydx da EDO original:
dydx = -4x,y + 1x^2,y^7

Passo 3

Substituindo em dfracdtdx:
dtdx = -6,y^-7l(-4x,y + 1x^2,y^7r) = 24,1x,y^-6 ;-; 6,1x^2
Como y^-6=t, obtemos a EDO linear em t:
dtdx - 24x,t = -6x^2

Passo 4

Para resolver
dtdx - 24x,t = -6x^2,
calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(-integral 24x,dxr) = expl(-24ln|x|r) = x^-24
Multiplicando a EDO por x^-24:
x^-24,dtdx - 24,x^-25,t = -6,x^-26,
que é
ddxl(t,x^-24r) = -6,x^-26
Integramos em x:
t,x^-24 = integral -6,x^-26,dx = -6;x^-25-25 + C = 625,x^-25 + C
Logo
t = 625,x^-25,x^24 + C,x^24 = 625,1x + C,x^24

Passo 5

Voltando à variável original, t=y^-6, temos
y^-6 = 625,x + C,x^24
Invertemos para obter y:
y^6 = 1tfrac625,x + C,x^24 Longrightarrow y = (1tfrac625,x + C,x^24)^!1/6
Para simplificar, note que
1tfrac625,x + C,x^24 = 25,x6 + 25,C,x^25
e definindo K=25,C obtemos a forma final.

Resposta

boxed y(x) = gl(25,x6 + K,x^25gr)^!1/6,
onde K é a constante arbitrária de integração.

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