QUESTÃO 05 (7 pontos): Escreva a equação da reta tangente à curva de equação
raizx y=2+x^2 y
no ponto ( -1,-1 ).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva implícita
raizx y ;=; 2 + x^2y
no ponto (-1,-1). Vamos verificar que o ponto pertence à curva, depois aplicar diferenciação implícita para obter dydx e, por fim, montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Verificamos se (-1,-1) satisfaz a equação:
raiz(-1)cdot(-1) = raiz1 = 1,
2 + (-1)^2cdot(-1) = 2 + 1cdot(-1) = 1
Como ambos os lados dão 1, o ponto está na curva.

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação a x.
Para o lado esquerdo, usamos
ddxraizxy = ddx(xy)^tfrac12 = tfrac12(xy)^-tfrac12,ddx(xy) = x,dydx + y2raizxy
Para o lado direito,
ddxl(2 + x^2yr) = 0 + 2x,y + x^2,dydx

Passo 4

Igualando as derivadas:
x,y' + y2raizxy = 2x,y + x^2y',
onde escrevemos y'=dydx. Multiplicamos por 2raizxy:
x,y' + y = 4x,yraizxy + 2x^2y'raizxy
Agora isolamos y':
x,y' - 2x^2raizxy,y' = 4x,yraizxy - y,
y'l(x - 2x^2raizxyr) = 4x,yraizxy - y,
y' = 4x,yraizxy - y,x - 2x^2raizxy,

Passo 5

Avalia-mos y' em (x,y)=(-1,-1). Aqui raizxy=raiz1=1, então
numerador = 4(-1)(-1)cdot1 - (-1) = 4 + 1 = 5,
denominador = -1 - 2cdot(-1)^2cdot1 = -1 - 2 = -3
Logo
y'(-1,-1) = 5-3 = -tfrac53

Passo 6

A reta tangente em (-1,-1) tem equação ponto-declive:
y - (-1) = -tfrac53l(x - (-1)r)
Simplificando:
y + 1 = -tfrac53(x + 1),
y = -tfrac53x - tfrac53 - 1 = -tfrac53x - tfrac83

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -tfrac53x - tfrac83

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