QUESTÃO 05 (7 pontos): Escreva a equação da reta tangente à curva de equação
no ponto (
).
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva implícita
no ponto
. Vamos verificar que o ponto pertence à curva, depois aplicar diferenciação implícita para obter
e, por fim, montar a equação da reta tangente.
Passo 2
Verificamos se
satisfaz a equação:
Como ambos os lados dão
, o ponto está na curva.
Passo 3
Diferenciamos implicitamente em relação a
.
Para o lado esquerdo, usamos
Para o lado esquerdo, usamos
Para o lado direito,
Passo 4
Igualando as derivadas:
onde escrevemos
. Multiplicamos por
:
Agora isolamos
:
Passo 5
Avalia-mos
em
. Aqui
, então
Logo
Passo 6
A reta tangente em
tem equação ponto-declive:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é