Para cada curva gamma a seguir, calcule gamma^prime(t) e d yd x.
gamma(t)=(t e^t, t+sen(t))

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica
gamma(t) = l(x(t),,y(t)r) com x(t) = t e^t, y(t) = t + sen(t)
e pede duas coisas:
  1. A derivada vetorial gamma'(t), que é l(x'(t),y'(t)r).
  2. A derivada dfracdydx ao longo da curva, que se obtém por
dydx = tfracdydttfracdxdt

Passo 2

Vamos achar x'(t) e y'(t) componente a componente:
Para x(t)=t e^t usamos regra do produto:
x'(t) = ddtl(t e^tr) = e^t + t e^t = e^t,(1 + t)
Para y(t)=t + sen(t) usamos derivada de soma e de seno:
y'(t) = ddtl(t + sen(t)r) = 1 + cos(t)
Logo,
gamma'(t) = l(x'(t),,y'(t)r) = l(e^t(1+t),,1+cos(t)r)

Passo 3

Agora calculamos
dydx = y'(t)x'(t) = 1 + cos(t)e^t,(1 + t)
Esse quociente nos dá a inclinação da curva em cada t, desde que x'(t)neq0.

Resposta

gamma'(t) = l(e^t(1+t),,1+cos(t)r)
dydx = 1 + cos(t)e^t,(1 + t)

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