Em todas as questões apresentadas, registre seus cálculos passo-a-passo.
Considere um tanque usado na extração de silício. O tanque contém 4000 L (litros) de uma mistura de cascalho de silício e água contendo inicialmente 40 kg de silício. Para extração, adiciona-se uma entrada de mistura água/cascalho numa concentração descrita pelo produto 0,2 kg / L fluindo a uma taxa de 1 L / min, e a solução bem misturada flui para fora à mesma taxa. Neste caso, o modelo que descreve a taxa de variação da quantidade de silício no tanque em função do tempo é dado por: fracd Qd t=210-Q4000, ou ainda,
d Qd t+14 0 0 0 Q=21 0, Q(0)=40 k g
Calcule o tempo gasto até que a quantia de silício no tanque seja de 100 kg .
Importante: Resolva passo-a-passo a equação diferencial linear do modelo, usando o Método do fator integrante na equação fracd Qd t+A cdot Q=B, calculando o fator integrante mu(t)=e^integral A d t e a solução Q(t)=1mu(t) integral mu(t). B dt.

Passo 1

O enunciado apresenta um tanque com 4000 L de mistura inicial contendo 40 kg de silício e descreve o modelo
dQdt+14000Q=210, Q(0)=40
Trata-se de uma equação diferencial linear de 1ª ordem, que vamos resolver pelo método do fator integrante para obter Q(t) e depois achar o tempo t tal que Q(t)=100.

Passo 2

Identificamos na forma
dQdt+A,Q=B
os coeficientes
A=14000, B=210=15

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t)=e^integral A,dt =e^integral14000,dt =e^t4000

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(t), obtendo
e^t4000dQdt+14000e^t4000Q =15e^t4000,
cujo lado esquerdo é a derivada
ddtl(Q,e^t4000r) =15e^t4000
Agora integramos em t:
Q,e^t4000 =integral15e^t4000,dt +C =15cdot4000,e^t4000+C =800,e^t4000+C

Passo 5

Isolamos Q(t):
Q(t)=800 + C,e^-t4000
Impondo a condição inicial Q(0)=40:
40=800 + CLongrightarrow C=40-800=-760
Logo a solução é
Q(t)=800 -760,e^-t4000

Passo 6

Determinamos o tempo t para Q(t)=100:
100=800 -760,e^-t4000 Longrightarrow 760,e^-t4000=700 Longrightarrow e^-t4000=700760=3538
Tomando logaritmo natural:
-t4000=ln!l(tfrac3538r) Longrightarrow t=-4000,ln!l(tfrac3538r)

Resposta

t=-4000ln!l(tfrac3538r) minutos approx328,8 minutos

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