Em todas as questões apresentadas, registre seus cálculos passo-a-passo.
Considere um tanque usado na extração de silício. O tanque contém
(litros) de uma mistura de cascalho de silício e água contendo inicialmente 40 kg de silício. Para extração, adiciona-se uma entrada de mistura água/cascalho numa concentração descrita pelo produto
fluindo a uma taxa de
, e a solução bem misturada flui para fora à mesma taxa. Neste caso, o modelo que descreve a taxa de variação da quantidade de silício no tanque em função do tempo é dado por:
, ou ainda,
Calcule o tempo gasto até que a quantia de silício no tanque seja de 100 kg .
Importante: Resolva passo-a-passo a equação diferencial linear do modelo, usando o Método do fator integrante na equação
, calculando o fator integrante
e a solução
. B dt.
Considere um tanque usado na extração de silício. O tanque contém
Importante: Resolva passo-a-passo a equação diferencial linear do modelo, usando o Método do fator integrante na equação
Passo 1
O enunciado apresenta um tanque com
L de mistura inicial contendo
kg de silício e descreve o modelo
Trata-se de uma equação diferencial linear de 1ª ordem, que vamos resolver pelo método do fator integrante para obter
e depois achar o tempo
tal que
.
Passo 2
Identificamos na forma
os coeficientes
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a EDO por
, obtendo
cujo lado esquerdo é a derivada
Agora integramos em
:
Passo 5
Isolamos
:
Impondo a condição inicial
:
Logo a solução é
Passo 6
Determinamos o tempo
para
:
Tomando logaritmo natural: