Use o teste da razão para estudar a convergência ou divergência das seguintes séries:
sumk=1^infty k(23)^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^infty kl(tfrac23r)^k
usando o teste da razão. O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, o teste da razão de Cauchy para séries de termos positivos.

Passo 2

Identificamos o termo geral
ak = kl(tfrac23r)^k
Como todos os ak>0, basta aplicar o teste da razão, que diz:
L = limktoinftyak+1ak Longrightarrow L<1impliesconver>= absolutamente, L>1impliesdiver>=, L=1impliesinconclusivo

Passo 3

Computemos a razo entre termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1)l(tfrac23r)^k+1kl(tfrac23r)^k = k+1k,23 = l(1+tfrac1kr)23

Passo 4

Tomamos o limite quando ktoinfty:
L=limktoinftyl(1+tfrac1kr)23 =l(1+0r)23 =23<1
Como L<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Resposta

A série sumk=1^infty kl(tfrac23r)^k converge absolutamente pelo teste da razão.

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