Para cada curva polar dada, determine os valores de \theta para os quais a reta tangente à curva é horizontal ou vertical:
r=3 \cos \theta

Passo 1

O enunciado pede: para a curva polar \,r=3\cos\theta, determinar todos os valores de \theta para os quais a reta tangente à curva é horizontal e todos os valores para os quais ela é vertical.
Informações dadas:
  • A equação da curva em coordenadas polares é \,r(\theta)=3\cos\theta.
  • Quer-se os \theta que tornam a reta tangente horizontal ou vertical.

Passo 2

Ideia para resolver (sem resolver ainda): uma curva polar \,r(\theta) pode ser escrita em coordenadas cartesianas como
x=r(\theta)\cos\theta,\qquad y=r(\theta)\sin\theta.
A inclinação da tangente no plano cartesiano é
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}},
onde usamos \theta como parâmetro. Portanto, para achar quando a tangente é horizontal ou vertical basta calcular \dfrac{dy}{d\theta} e \dfrac{dx}{d\theta} e analisar quando o quociente é zero (horizontal) ou indefinido/infinito (vertical).
Vou explicar antes de aplicar: “horizontal” significa \dfrac{dy}{dx}=0. Isso ocorre quando o numerador \dfrac{dy}{d\theta}=0 e o denominador \dfrac{dx}{d\theta}\neq0. “Vertical” significa \dfrac{dy}{dx} não está definido por divisão por zero, ou seja \dfrac{dx}{d\theta}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\neq0. Se ambos forem zero ao mesmo tempo temos uma situação indeterminada que precisa de análise adicional (aqui veremos que não acontece).

Passo 3

Calcular as derivadas em função de \theta.
Primeiro, determinar \dfrac{dr}{d\theta}. Como \,r(\theta)=3\cos\theta,
\frac{dr}{d\theta}=-3\sin\theta.
Agora usar produto e regra da cadeia para x e y:
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
Derivando,
\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
Isto vem da regra do produto: derivative of r\cdot\cos\theta é r'\cos\theta + r(-\sin\theta), etc.

Passo 4

Substituir r e r' nas fórmulas:
Sabendo \,r=3\cos\theta e \,r'=-3\sin\theta,
calcular o numerador N=\dfrac{dy}{d\theta}:
N = (-3\sin\theta)\sin\theta + (3\cos\theta)\cos\theta.
Simplificando:
N = -3\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 3(\cos^2\theta-\sin^2\theta).
Reconhecendo identidade trigonométrica,
\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos 2\theta,
logo
N = 3\cos 2\theta.
Agora o denominador D=\dfrac{dx}{d\theta}:
D = (-3\sin\theta)\cos\theta - (3\cos\theta)\sin\theta.
Somando os termos:
D = -3\sin\theta\cos\theta -3\cos\theta\sin\theta = -6\sin\theta\cos\theta.
Usando identidade \,2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta, obtemos
D = -6\sin\theta\cos\theta = -3\sin 2\theta.
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{N}{D}=\frac{3\cos 2\theta}{-3\sin 2\theta}=-\frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta}=-\cot 2\theta,
desde que D\neq0.

Passo 5

Condição para tangente horizontal: \dfrac{dy}{dx}=0.
Isso equivale a N=0 e D\neq0. Temos N=3\cos 2\theta, então:
\cos 2\theta = 0.
Resolver \cos 2\theta = 0
2\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Verificar a condição D\neq0 nesses \theta: para esses \theta temos 2\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi, então \sin 2\theta=\pm1\neq0. Logo D=-3\sin2\theta\neq0. Portanto todas as soluções acima são válidas; não há indeterminação.

Passo 6

Condição para tangente vertical: \dfrac{dx}{d\theta}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\neq0.
Temos D=-3\sin 2\theta, então
\sin 2\theta = 0.
Resolver \sin 2\theta = 0
2\theta = k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Verificar N\neq0 nesses \theta: para esses \theta temos 2\theta=k\pi, então \cos 2\theta=\cos k\pi = (-1)^k, que é \pm1\neq0. Logo N=3\cos2\theta\neq0. Portanto todas essas soluções são válidas; novamente não há indeterminação.

Passo 7

Analisar casos especiais (passagem pela origem): quando \cos\theta=0 (isto é \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi) temos r=0 e a curva passa pela origem. Nesses \theta particulares a condição encontrada para verticalidade inclui \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi (pois são da forma \theta=\tfrac{k\pi}{2} com k ímpar). Para pontos em que r=0 e r'\neq0 (aqui r'=-3\sin\theta e em \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi tem-se r'=\mp3\neq0), a reta tangente no ponto de origem tem direção dada por \theta (regra conhecida). Isso coincide com o fato de serem verticais quando \theta=\tfrac{\pi}{2} ou \theta=\tfrac{3\pi}{2}. Então as soluções encontram-se consistentes mesmo nesses casos.

Passo 8

Resumindo as soluções de forma prática (uma vez que as equações são periódicas em \theta):
  • Tangente horizontal para
\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Tangente vertical para
\theta=\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Se preferir as soluções no intervalo [0,2\pi), explicitamente:
  • Horizontais em \theta=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}.
  • Verticais em \theta=0,\dfrac{\pi}{2},\pi,\dfrac{3\pi}{2}.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z} (tangente horizontal)
\theta=\dfrac{k\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z} (tangente vertical)

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