Para cada curva polar dada, determine os valores de
para os quais a reta tangente à curva é horizontal ou vertical:
Passo 1
O enunciado pede: para a curva polar
, determinar todos os valores de
para os quais a reta tangente à curva é horizontal e todos os valores para os quais ela é vertical.
Informações dadas:
- A equação da curva em coordenadas polares é
. - Quer-se os
que tornam a reta tangente horizontal ou vertical.
Passo 2
Ideia para resolver (sem resolver ainda): uma curva polar
pode ser escrita em coordenadas cartesianas como
A inclinação da tangente no plano cartesiano é
onde usamos
como parâmetro. Portanto, para achar quando a tangente é horizontal ou vertical basta calcular
e
e analisar quando o quociente é zero (horizontal) ou indefinido/infinito (vertical).
Vou explicar antes de aplicar: “horizontal” significa
. Isso ocorre quando o numerador
e o denominador
. “Vertical” significa
não está definido por divisão por zero, ou seja
e
. Se ambos forem zero ao mesmo tempo temos uma situação indeterminada que precisa de análise adicional (aqui veremos que não acontece).
Passo 3
Calcular as derivadas em função de
.
Primeiro, determinar
. Como
,
Agora usar produto e regra da cadeia para
e
:
Derivando,
Isto vem da regra do produto: derivative of
é
, etc.
Passo 4
Substituir
e
nas fórmulas:
Sabendo
e
,
calcular o numerador
:
Simplificando:
Reconhecendo identidade trigonométrica,
logo
Agora o denominador
:
Somando os termos:
Usando identidade
, obtemos
Portanto
desde que
.
Passo 5
Condição para tangente horizontal:
.
Isso equivale a
e
. Temos
, então:
Resolver
dá
Verificar a condição
nesses
: para esses
temos
, então
. Logo
. Portanto todas as soluções acima são válidas; não há indeterminação.
Passo 6
Condição para tangente vertical:
e
.
Temos
, então
Resolver
dá
Verificar
nesses
: para esses
temos
, então
, que é
. Logo
. Portanto todas essas soluções são válidas; novamente não há indeterminação.
Passo 7
Analisar casos especiais (passagem pela origem): quando
(isto é
) temos
e a curva passa pela origem. Nesses
particulares a condição encontrada para verticalidade inclui
(pois são da forma
com
ímpar). Para pontos em que
e
(aqui
e em
tem-se
), a reta tangente no ponto de origem tem direção dada por
(regra conhecida). Isso coincide com o fato de serem verticais quando
ou
. Então as soluções encontram-se consistentes mesmo nesses casos.
Passo 8
Resumindo as soluções de forma prática (uma vez que as equações são periódicas em
):
- Tangente horizontal para
- Tangente vertical para
Se preferir as soluções no intervalo
, explicitamente:
- Horizontais em
. - Verticais em
.