Calcule a inclinação da reta tangente à curva polar dada, no ponto correspondente ao valor especificado de \theta. (Dica: Lembre-se de que, em coordenadas polares, a derivada \frac{d y}{d x} pode ser obtida por: \frac{d y}{d x}=\frac{r^{\prime}(\theta) \sin \theta+r(\theta) \cos \theta}{r^{\prime}(\theta) \cos \theta-r(\theta) \sin \theta} ). r=1-2 \cos \theta, \quad \theta=\frac{\pi}{3}
Passo 1
O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva polar dada por r=r(\theta)=1-2\cos\theta no ponto correspondente a \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Informações fornecidas:
r(\theta)=1-2\cos\theta.
Valor de interesse: \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Pergunta a responder:
Calcular \dfrac{dy}{dx} no ponto da curva correspondente a \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Passo 2
Como proceder (fórmula e ideia): em coordenadas polares tem-se as relações entre x,y e r,\theta:
Observação útil: embora r(\tfrac{\pi}{3})=0 (o ponto esteja na origem), a tangente está bem definida porque o denominador da fórmula não é zero em \theta=\tfrac{\pi}{3}.
Passo 6
Interpretação final (curta e motivadora): a inclinação da reta tangente à curva polar em \theta=\dfrac{\pi}{3} vale \sqrt{3}. Ótimo trabalho chegando até aqui — a simplificação quando r=0 costuma facilitar os cálculos!