Calcule a inclinação da reta tangente à curva polar dada, no ponto correspondente ao valor especificado de \theta. (Dica: Lembre-se de que, em coordenadas polares, a derivada \frac{d y}{d x} pode ser obtida por: \frac{d y}{d x}=\frac{r^{\prime}(\theta) \sin \theta+r(\theta) \cos \theta}{r^{\prime}(\theta) \cos \theta-r(\theta) \sin \theta} ).
r=1-2 \cos \theta, \quad \theta=\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva polar dada por r=r(\theta)=1-2\cos\theta no ponto correspondente a \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Informações fornecidas:
  • r(\theta)=1-2\cos\theta.
  • Valor de interesse: \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Pergunta a responder:
  • Calcular \dfrac{dy}{dx} no ponto da curva correspondente a \theta=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Como proceder (fórmula e ideia): em coordenadas polares tem-se as relações entre x,y e r,\theta:
x=r(\theta)\cos\theta,\qquad y=r(\theta)\sin\theta.
Para obter a inclinação da tangente \dfrac{dy}{dx} tratamos x e y como funções de \theta e usamos a regra da derivada de função paramétrica:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}.
Calculando \dfrac{dx}{d\theta} e \dfrac{dy}{d\theta} por regra do produto (onde r'=dr/d\theta):
\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
Dividindo os dois resultados obtemos a fórmula indicada no enunciado:
\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta}.
Aqui r'(\theta) significa \dfrac{dr}{d\theta}. É essa fórmula que vamos usar.

Passo 3

Calcular r'(\theta) para r(\theta)=1-2\cos\theta.
Derivando termo a termo (derivada de \cos\theta é -\sin\theta):
r'(\theta)=\frac{d}{d\theta}\big(1-2\cos\theta\big)= -2\cdot(-\sin\theta)=2\sin\theta.

Passo 4

Avaliar r(\theta), r'(\theta), \sin\theta e \cos\theta em \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Sabendo \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, temos:
r\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=1-2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=1-2\cdot\frac{1}{2}=1-1=0,
r'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.

Passo 5

Substituir esses valores na fórmula de \dfrac{dy}{dx}.
A fórmula é
\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta}.
Substituindo em \theta=\dfrac{\pi}{3} (e lembrando que r(\tfrac{\pi}{3})=0):
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{\theta=\tfrac{\pi}{3}} = \frac{r'(\tfrac{\pi}{3})\sin(\tfrac{\pi}{3}) + 0\cdot\cos(\tfrac{\pi}{3})}{r'(\tfrac{\pi}{3})\cos(\tfrac{\pi}{3}) - 0\cdot\sin(\tfrac{\pi}{3})} = \frac{r'(\tfrac{\pi}{3})\sin(\tfrac{\pi}{3})}{r'(\tfrac{\pi}{3})\cos(\tfrac{\pi}{3})}.
Como r'(\tfrac{\pi}{3})\neq 0 podemos simplificar:
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{\theta=\tfrac{\pi}{3}}=\frac{\sin(\tfrac{\pi}{3})}{\cos(\tfrac{\pi}{3})}=\tan\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right).
E \tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}. Se quiser ver os números:
\text{numerador}= \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2},\qquad \text{denominador}= \sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},
\frac{3/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Observação útil: embora r(\tfrac{\pi}{3})=0 (o ponto esteja na origem), a tangente está bem definida porque o denominador da fórmula não é zero em \theta=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 6

Interpretação final (curta e motivadora): a inclinação da reta tangente à curva polar em \theta=\dfrac{\pi}{3} vale \sqrt{3}. Ótimo trabalho chegando até aqui — a simplificação quando r=0 costuma facilitar os cálculos!

Resposta

\sqrt{3}

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