Para cada curva polar dada, determine os valores de
para os quais a reta tangente à curva é horizontal ou vertical:
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede: para quais valores de
a reta tangente à curva é horizontal e para quais é vertical.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está definida para todos . - Queremos os ângulos
em que a derivada da curva é zero (tangente horizontal) ou indefinida/infinita (tangente vertical).
A partir daqui vamos calcularem coordenadas polares e analisar os zeros/raízes do numerador e denominador.
Passo 2
Expressão para
em coordenadas polares (explicação e derivação curta):
- Em coordenadas polares temos
- Derivando em relação a
:
- A inclinação da curva no plano cartesiano é
Essa fórmula é fundamental: zeros do numerador dão tangentes horizontais (se o denominador for não nulo) e zeros do denominador dão tangentes verticais (se o numerador for não nulo). Se ambos são zero, é caso singular e precisa análise adicional.
Passo 3
Calcular
e substituir:
- Temos
, logo
- Substituindo na fórmula de
obtemos o numerador e denominador :
Agora simplificamos cada um passo a passo.
Passo 4
Simplificação do numerador
:
Portanto
Passo 5
Simplificação do denominador
:
Usando ,
Usando
Fatorando o polinômio em
:
Logo
Passo 6
Condições para tangentes horizontais e verticais (regra prática):
- Tangente horizontal:
e . - Tangente vertical:
e . - Se
e ao mesmo tempo, analisar o ponto separadamente (expansão em série/parametrização) para decidir a natureza da tangente.
Passo 7
Resolver
(candidatos a horizontais):
Isto dá duas possibilidades:
-
. -
.
Agora verificar o denominador nesses casos:
- Para
(caso com ): . Então portanto corresponde a tangente horizontal. - Para
: e . Aqui e simultaneamente, é caso singular (vai ser tratado adiante). - Para
(os e ): substituindo em , logo e esses ângulos dão tangentes horizontais.
Conclusão parcial para horizontais (em um período
):
(mais
) — com a ressalva do caso
que precisa análise especial.
Passo 8
Resolver
(candidatos a verticais):
Isto dá:
-
. -
.
Verificar o numerador nesses casos:
- Para
(ou seja ) temos . Assim e simultaneamente — caso singular que precisa análise (vai ser tratado adiante). - Para
: então , e . Em e , , logo e esses ângulos dão tangentes verticais.
Conclusão parcial para verticais (num período
):
(mais
) e possível
depois de análise.
Passo 9
Análise do caso singular
(onde
,
,
,
):
- Para entender a tangente quando a curva passa pela origem com comportamento degrau, fazemos uma expansão local. Tome
com pequeno. - Expandindo
e : - Então
- Coordenadas cartesianas aproximadas:
- Eliminando
para encontrar comportamento : da expressão de e tem-se e . Assim - Quando
a inclinação tem módulo tendendo para infinito (sinal depende da direção), isto é, a reta tangente é vertical no ponto origem correspondente a .
Portanto o caso singular
corresponde a uma tangente vertical.
Passo 10
Reunindo tudo e apresentando os ângulos no intervalo usual
:
-
Tangentes horizontais (onde
com denominador não nulo): (e maispara outros períodos). -
Tangentes verticais (onde denominador zero e numerador não zero, ou análise singular resultando em vertical):(e mais
para outros períodos).
Resposta
Horizontal:
(mod
)
Vertical: (mod
)
Vertical: