Para cada curva polar dada, determine os valores de \theta para os quais a reta tangente à curva é horizontal ou vertical:
r=1-\sin \theta

Passo 1

O enunciado dá a curva polar \;r=1-\sin\theta\; e pede: para quais valores de \theta a reta tangente à curva é horizontal e para quais é vertical.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função r(\theta)=1-\sin\theta está definida para todos \theta.
  • Queremos os ângulos \theta em que a derivada \dfrac{dy}{dx} da curva é zero (tangente horizontal) ou indefinida/infinita (tangente vertical).
    A partir daqui vamos calcular \dfrac{dy}{dx} em coordenadas polares e analisar os zeros/raízes do numerador e denominador.

Passo 2

Expressão para \dfrac{dy}{dx} em coordenadas polares (explicação e derivação curta):
  • Em coordenadas polares temos
x=r(\theta)\cos\theta,\qquad y=r(\theta)\sin\theta.
  • Derivando em relação a \theta:
\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta, \qquad \frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta.
  • A inclinação da curva no plano cartesiano é
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} =\frac{\dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta}{\dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta}.
Essa fórmula é fundamental: zeros do numerador dão tangentes horizontais (se o denominador for não nulo) e zeros do denominador dão tangentes verticais (se o numerador for não nulo). Se ambos são zero, é caso singular e precisa análise adicional.

Passo 3

Calcular \dfrac{dr}{d\theta} e substituir:
  • Temos \;r(\theta)=1-\sin\theta\;, logo
\frac{dr}{d\theta}=-\cos\theta.
  • Substituindo na fórmula de \dfrac{dy}{dx} obtemos o numerador N e denominador D:
N=\left(-\cos\theta\right)\sin\theta+(1-\sin\theta)\cos\theta,
D=\left(-\cos\theta\right)\cos\theta-(1-\sin\theta)\sin\theta.
Agora simplificamos cada um passo a passo.

Passo 4

Simplificação do numerador N:
N=-\cos\theta\sin\theta+\cos\theta(1-\sin\theta) =\cos\theta\big(1-2\sin\theta\big).
Portanto
N=\cos\theta\big(1-2\sin\theta\big).

Passo 5

Simplificação do denominador D:
Usando \cos^2\theta=1-\sin^2\theta,
D=-\cos^2\theta-(\sin\theta-\sin^2\theta) =-\big(1-\sin^2\theta\big)-\sin\theta+\sin^2\theta =2\sin^2\theta-\sin\theta-1.
Fatorando o polinômio em \sin\theta:
2\sin^2\theta-\sin\theta-1=(2\sin\theta+1)(\sin\theta-1).
Logo
D=(2\sin\theta+1)(\sin\theta-1).

Passo 6

Condições para tangentes horizontais e verticais (regra prática):
  • Tangente horizontal: N=0 e D\neq0.
  • Tangente vertical: D=0 e N\neq0.
  • Se N=0 e D=0 ao mesmo tempo, analisar o ponto separadamente (expansão em série/parametrização) para decidir a natureza da tangente.

Passo 7

Resolver N=0 (candidatos a horizontais):
\cos\theta\big(1-2\sin\theta\big)=0.
Isto dá duas possibilidades:
  1. \cos\theta=0\Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.
  2. 1-2\sin\theta=0\Rightarrow \sin\theta=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\\ \theta=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi.
Agora verificar o denominador nesses casos:
  • Para \theta=\dfrac{3\pi}{2} (caso \cos\theta=0 com k=1): \sin\theta=-1. Então D=(2(-1)+1)((-1)-1)=(-1)(-2)=2\neq0,portanto \theta=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi corresponde a tangente horizontal.
  • Para \theta=\dfrac{\pi}{2}: \sin\theta=1 e D=(2\cdot1+1)(1-1)=3\cdot0=0. Aqui N=0 e D=0 simultaneamente, é caso singular (vai ser tratado adiante).
  • Para \sin\theta=\dfrac{1}{2} (os \dfrac{\pi}{6} e \dfrac{5\pi}{6}): substituindo em D, 2\sin\theta+1=2\cdot\frac{1}{2}+1=2\neq0,\qquad \sin\theta-1=-\tfrac{1}{2}\neq0,logo D\neq0 e esses ângulos dão tangentes horizontais.
Conclusão parcial para horizontais (em um período 2\pi): \theta=\dfrac{\pi}{6},\\ \dfrac{5\pi}{6},\\ \dfrac{3\pi}{2} (mais +2k\pi) — com a ressalva do caso \dfrac{\pi}{2} que precisa análise especial.

Passo 8

Resolver D=0 (candidatos a verticais):
(2\sin\theta+1)(\sin\theta-1)=0.
Isto dá:
  1. \sin\theta=1\Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi.
  2. \sin\theta=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \theta=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\\ \theta=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi.
Verificar o numerador nesses casos:
  • Para \sin\theta=1 (ou seja \theta=\dfrac{\pi}{2}) temos N=\cos\theta(1-2\sin\theta)=0\cdot(1-2)=0. Assim N=0 e D=0 simultaneamente — caso singular que precisa análise (vai ser tratado adiante).
  • Para \sin\theta=-\dfrac{1}{2}: então 1-2\sin\theta=1-2(-\tfrac{1}{2})=1+1=2, e N=2\cos\theta. Em \theta=\dfrac{7\pi}{6} e \theta=\dfrac{11\pi}{6}, \cos\theta\neq0, logo N\neq0 e esses ângulos dão tangentes verticais.
Conclusão parcial para verticais (num período 2\pi): \theta=\dfrac{7\pi}{6},\\ \dfrac{11\pi}{6} (mais +2k\pi) e possível \theta=\dfrac{\pi}{2} depois de análise.

Passo 9

Análise do caso singular \theta=\dfrac{\pi}{2} (onde r=0, dr/d\theta=0, N=0, D=0):
  • Para entender a tangente quando a curva passa pela origem com comportamento degrau, fazemos uma expansão local. Tome \theta=\dfrac{\pi}{2}+h com h pequeno.
  • Expandindo \sin e \cos: \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+h\right)=\cos h=1-\tfrac{h^2}{2}+O(h^4), \qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+h\right)=-\sin h=-h+O(h^3).
  • Então r=1-\sin\theta=1-\cos h\approx \tfrac{h^2}{2}.
  • Coordenadas cartesianas aproximadas: x=r\cos\theta\approx \tfrac{h^2}{2}\cdot(-h)=-\tfrac{h^3}{2}, \qquad y=r\sin\theta\approx \tfrac{h^2}{2}\cdot 1=\tfrac{h^2}{2}.
  • Eliminando h para encontrar comportamento y(x): da expressão de x e y tem-se x\sim -\tfrac{h^3}{2} e y\sim \tfrac{h^2}{2}. Assim \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dh}{dx/dh}=\frac{h}{-\tfrac{3h^2}{2}}=-\frac{2}{3h}.
  • Quando h\to 0 a inclinação \dfrac{dy}{dx} tem módulo tendendo para infinito (sinal depende da direção), isto é, a reta tangente é vertical no ponto origem correspondente a \theta=\tfrac{\pi}{2}.
Portanto o caso singular \theta=\dfrac{\pi}{2} corresponde a uma tangente vertical.

Passo 10

Reunindo tudo e apresentando os ângulos no intervalo usual [0,2\pi):
  • Tangentes horizontais (onde \dfrac{dy}{dx}=0 com denominador não nulo):
    \theta=\frac{\pi}{6},\qquad \theta=\frac{5\pi}{6},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}
    (e mais \;+\;2k\pi\; para outros períodos).
  • Tangentes verticais (onde denominador zero e numerador não zero, ou análise singular resultando em vertical):
    \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{7\pi}{6},\qquad \theta=\frac{11\pi}{6}
    (e mais \;+\;2k\pi\; para outros períodos).

Resposta

Horizontal: \dfrac{\pi}{6},\\ \dfrac{5\pi}{6},\\ \dfrac{3\pi}{2} (mod 2\pi)
Vertical: \dfrac{\pi}{2},\\ \dfrac{7\pi}{6},\\ \dfrac{11\pi}{6} (mod 2\pi)

Exercícios relacionados